5 replies to this topic

[Forgive Yourself]

Cho $2$ pt bậc hai: $\left\{\begin{matrix} x^2+a_1x+b_1=0\\ x^2+a_2x+b_2=0 \end{matrix}\right.$
có các hệ số thỏa mãn điều kiện $a_1a_2\geq 2(b_1+b_2)$
CMR: ít nhất một trong hai pt trên có nghiệm

[dorabesu]

Cho $2$ pt bậc hai: $\left\{\begin{matrix} x^2+a_1x+b_1=0\\ x^2+a_2x+b_2=0 \end{matrix}\right.$
có các hệ số thỏa mãn điều kiện $a_1a_2\geq 2(b_1+b_2)$
CMR: ít nhất một trong hai pt trên có nghiệm

Giả sử cả 2 pt đều vô nghiệm suy ra $\Delta<0$
tức là $\left\{\begin{matrix}a_1^2-4b_1<0\\ a_2^2-4b_2<0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_1^2.a_2^2<4(b_1.b_2)$
$\Rightarrow a_1.a_2<4\sqrt{b_1.b_2}$
Mà $4\sqrt{b_1.b_2}\leq 2(b_1+b_2)$ ( Cauchy )
Nên $a_1.a_2<2(b_1+b_2)$ (mâu thuẫn) ...

[Primary]

Giả sử cả 2 pt đều vô nghiệm suy ra $\Delta<0$
tức là $\left\{\begin{matrix}a_1^2-4b_1<0\\ a_2^2-4b_2<0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_1^2.a_2^2<4(b_1.b_2)$
$\Rightarrow a_1.a_2<4\sqrt{b_1.b_2}$
Mà $4\sqrt{b_1.b_2}\leq 2(b_1+b_2)$ ( Cauchy )
Nên $a_1.a_2<2(b_1+b_2)$ (mâu thuẫn) ...

Bạn có thể tổng quát hệ số a lên được không?

Edited by Primary, 17-02-2013 - 12:32.

[dorabesu]

Bạn có thể tổng quát hệ số a lên được không?

Là sao hả cậu?

[Primary]

Là sao hả cậu?

Đổi các phương trình thành: $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$

[dorabesu]

Đổi các phương trình thành: $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy thì đề là :
Cho hpt $\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1x+c_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2x+c_2=0 & & \\ ............................. & & \\ a_nx^2+b_nx+c_n=0 & & \end{matrix}\right.$
với $b_1.b_2...b_n\geq 2(a_1.c_1+a_2.c_2+...+a_n.c_n)$ à?

Edited by dorabesu, 17-02-2013 - 12:50.