Giải pt nghiệm nguyên :
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}=3$
#1
Đã gửi 17-02-2013 - 16:40
dorabesu
-
- Thành viên
-
- 167 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 18-02-2013 - 18:56
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
PT$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$ (1). Từ (1) suy ra $xyz> 0$. Ta có$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3\Rightarrow 3xyz\leq 3$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3\Rightarrow xyz=1\Rightarrow x=y=z=1$ hoặc $x=y=-1$, $z=1$ và các hoán vịGiải pt nghiệm nguyên :
$\frac{yz}{x}+\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}=3$
- banhgaongonngon yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 27-02-2013 - 22:41
dinhthanhhung
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Cm $3xyz\leq 3$ của bạn hình như sai rồi .PT$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3xyz$ (1). Từ (1) suy ra $xyz> 0$. Ta có$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3\Rightarrow 3xyz\leq 3$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=3\Rightarrow xyz=1\Rightarrow x=y=z=1$ hoặc $x=y=-1$, $z=1$ và các hoán vị
Tôi cm như sau : $\sum x^{2}y^{2}=3xyz \geq 0$ nên chắc chắn có 1 số ko âm trong $x,y,z$ . Giả sử là $x$ . Đặt $\left | y \right |=a;\left | z \right |=b$ đưa pt về : $\sum x^{2}a^{2}=3xab$ trong đó $x,a,b\geq 0$
Dùng BĐT như bạn cm được $x+a+b\leq 3$
Dùng AM-GM : $3\geq x+a+b\geq 3\sqrt[3]{xab}\Leftrightarrow 1\geq xab$
Từ đây làm như bạn
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
