Đến nội dung

Hình ảnh

$(a+b+c)^2\geq 4(h_a^2+h_b^2+h_c^2)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dorabesu

dorabesu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
Với $a,b,c$ là các cạnh và $h_a;h_b;h_c$ là đường cao của 1 tam giác. Cmr : $(a+b+c)^2\geq 4(h_a^2+h_b^2+h_c^2)$

#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Với $a,b,c$ là các cạnh và $h_a;h_b;h_c$ là đường cao của 1 tam giác. Cmr : $(a+b+c)^2\geq 4(h_a^2+h_b^2+h_c^2)$


Bổ đề: $(a+b+c)(b+c-a)\geq 4h_{a}^{2}$
Thật vậy kẻ đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $d\parallel BC$. Gọi $P$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $d$.
Ta luôn có

$PC\leq AP+AC=b+c$

Mà $PC^{2}=BC^{2}+BP^{2}=a^{2}+4h_{a}^{2}$
Vậy $4h_{a}^{2}+a^{2}\leq (b+c)^{2}$
$\Leftrightarrow (a+b+c)(b+c-a)\geq 4h_{a}^{2}$
Lập 2 bất đẳng thức tương tự, ta có đpcm




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh