Chủ đề này có 1 trả lời

[dorabesu]

Tìm $k$ để pt $x^2+kx+a=0$ với $a$ khác 0 có 2 nghiệm thỏa mãn : $(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3\leq 52$

[mathprovn]

Tìm $k$ để pt $x^2+kx+a=0$ với $a$ khác 0 có 2 nghiệm thỏa mãn : $(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3\leq 52$

Nếu a < 0 thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu. Suy ra $(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3 < 0 < 52$. Khi đó bài toán đúng với mọi k.
Nếu a > 0 thì phương trình có nghiệm khi $k^2 - 4a \geq 0 \Leftrightarrow k^2 \geq 4a $(*)
$(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3\leq 52$
$\Leftrightarrow \left( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right)^3 - 3\left ( \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} \right )\leq 52$
$\Leftrightarrow t^3 - 3t - 52 \leq 0$, Đặt $t = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{k^2 - 2a}{a}$
$\Leftrightarrow (t - 4)(t^2 + 4t + 13) \leq 0$ (**)
Vì $t^2 + 4t + 13 = (t + 2)^2 + 9 > 0$ với mọi t nên từ (**) suy ra:
$t - 4\leq 0 \Leftrightarrow \frac{k^2 - 2a}{a} - 4\leq 0 \Leftrightarrow \frac{k^2 - 6a}{a} \leq 0$
Suy ra: $k^2 \leq 6a$ (vì $a > 0)$ (***)
Kết hợp (*) và (***) ta được: $4a\leq k^2 \leq6a \Leftrightarrow 2\sqrt{a} \leq k \leq \sqrt{6a}$ với mọi $a >0$