Chủ đề này có 11 trả lời

[herolnq]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2(x+y)^{3}+4xy-3=0 &&\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0\end{matrix}\right.$

[rongthan]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2(x+y)^{3}+4xy-3=0(1)&&\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0(2)\end{matrix}\right.$

Ta có:$(2)<=>(x+y)^{4}-2(x+y)^{2}+x+y+(2y-1)^{2}=0$
$\Rightarrow (x+y)^{4}-2(x+y)^{2}+x+y \leq 0$
$<=>x+y \in [\frac{\sqrt{5}-1}{2};1]$ hoặc $x+y \in [-\frac{1+\sqrt{5}}{2};0]$
+/ Nếu $ x+y \in [\frac{\sqrt{5}-1}{2};1]$ thì $(2)<=>(2y-1)^{2}+(x+y)(x+y-1)^{2} \leq 0$( vì $0< x+y \leq 1$)
$\Rightarrow x= y=\frac{1}{2}$
+/ Nếu $x+y \in [-\frac{1+\sqrt{5}}{2};0]$
Đặt $t=|x+y|$ thì
$(1) \Rightarrow t^{2} \geq 4xy =2t^{3}+3 \geq 3t^{2}+2$ rõ ràng vô lí
Vậy $(x;y)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 18-02-2013 - 13:32

[herolnq]

TH1 sao x+y>0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi herolnq: 18-02-2013 - 13:35

[herolnq]

bạn có cách khác không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi herolnq: 18-02-2013 - 13:34

[rongthan]

TH1 sao x+y>0

mình gõ nhầm nghiệm đã sửa trong bài rồi!
Cách khác à? Mình sẽ thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 18-02-2013 - 13:36

[nthoangcute]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2(x+y)^{3}+4xy-3=0 &&\\(x+y)^{4}-2x^{2}-4xy+2y^{2}+x-3y+1=0\end{matrix}\right.$

Lấy $2PT(1)+PT(2)$ ta được:
$$2(x+y-1)({x}^{3}+3\,y{x}^{2}+3\,{x}^{2}+x+3\,x{y}^{2}+6\,xy+{y}^{3}+2+3\,{y}^{2}+5\,y)=0$$
Hay $$2(x+y-1)(6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5})=0$$
OK?

[donghaidhtt]

Lấy $2PT(1)+PT(2)$ ta được:
$$2(x+y-1)({x}^{3}+3\,y{x}^{2}+3\,{x}^{2}+x+3\,x{y}^{2}+6\,xy+{y}^{3}+2+3\,{y}^{2}+5\,y)=0$$
Hay $$2(x+y-1)(6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5})=0$$
OK?

$2(x+y-1)(6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5})$
Cái này nhân lại mới đc bậc 3 thôi mà?

[nthoangcute]

$2(x+y-1)(6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5})$
Cái này nhân lại mới đc bậc 3 thôi mà?

Thực ra là:
$${x}^{3}+3\,y{x}^{2}+3\,{x}^{2}+x+3\,x{y}^{2}+6\,xy+{y}^{3}+2+3\,{y}^{2}+5\,y-\dfrac{1}{2} (2(x+y)^{3}+4xy-3)=6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5}$$

[herolnq]

Thực ra là:
$${x}^{3}+3\,y{x}^{2}+3\,{x}^{2}+x+3\,x{y}^{2}+6\,xy+{y}^{3}+2+3\,{y}^{2}+5\,y-\dfrac{1}{2} (2(x+y)^{3}+4xy-3)=6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5}$$

khi cộng 2 pt lại thì cũng phải ra bậc 4 chứ.

[herolnq]

bạn làm tắt quá.. hiểu rồi

[xuansang13121998]

Lấy $2PT(1)+PT(2)$ ta được:
$$2(x+y-1)({x}^{3}+3\,y{x}^{2}+3\,{x}^{2}+x+3\,x{y}^{2}+6\,xy+{y}^{3}+2+3\,{y}^{2}+5\,y)=0$$
Hay $$2(x+y-1)(6(x+\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{6})^2+\dfrac{10}{3}(y+\dfrac{13}{10})^2+\dfrac{6}{5})=0$$
OK?

Cho mình hỏi bạn làm cách làm để tìm được con số 2 kia đấy. Bạn dùng hệ số bất định à. Nhưng mình dùng không được. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuansang13121998: 14-06-2014 - 19:54

[vietleorg]

pt (2) có thể biến đổi về dạng:
$(x+y-1)[(x+y-1)(x+y+1)^2+1]+(2y-1)^2=0$
Suy ra $(x+y-1)[(x+y-1)(x+y+1)^2+1] \leq 0$
nếu x+y-1=0 thay vào hệ dễ tính dc $x=y=\frac{1}{2}
nếu $x+y-1<0$ thì dễ c/m vt >0 vô lý
nếu $x+y-1 \leq 0 \Leftrightarrow x+y \leq 1$ thay vào pt 1 suy ra $4xy \geq 1 \Rightarrow 4xy \geq (x+y)^2$
Suy ra $x=y$ và $4xy=(x+y)^2=1$
Dễ tính dc $x=y=\frac{1}{2}$ thử lại đúng
Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietleorg: 14-06-2014 - 22:05