Chủ đề này có 5 trả lời

[hand of god]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng $2$;Chứng minh rằng
$a^{3}\left ( b^{2}+c^{2} \right )+b^{3}\left ( c^{2}+a^{2} \right )+c^{3}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq 2$
____________
@Joker: Chú ý Latex.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 18-02-2013 - 22:43

[Joker9999]

Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 2;Chứng minh rằng
$a^{3}\left ( b^{2}+c^{2} \right )+b^{3}\left ( c^{2}+a^{2} \right )+c^{3}\left ( a^{2}+b^{2} \right )\leq 2$

Lời giải:
Chuyển BDT trên về ngôn ngữ $p,q,r$ và chú ý $p=2$ cần CM:

$pq^2-(2p^2+q)r\leq 2\Leftrightarrow 2q^2\leq 2+r(8+q)$

TH1: $q\leq 1\Rightarrow 2q^2\leq 2\Rightarrow$ đpcm
TH2:$q>1$. Dễ có: $q\leq \frac{4}{3}$ do $p=2$. Như vậy áp dụng BDT Schur:$r\geq \frac{8q-8}{9}$ thì cần CM: $10q^2-56q+36\leq 0\Leftrightarrow (q-4,..)(q-0,..)\leq 0$ đúng do $1<q\leq \frac{4}{3}<4$.
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1,c=0$ và các hoán vị.

[hand of god]

Có ai giải theo AM-GM không. Chỉ mình cái

[dtvanbinh]

Lời giải:
Chuyển BDT trên về ngôn ngữ $p,q,r$ và chú ý $p=2$ cần CM:

$pq^2-(2p^2+q)r\leq 2\Leftrightarrow 2q^2\leq 2+r(8+q)$

TH1: $q\leq 1\Rightarrow 2q^2\leq 2\Rightarrow$ đpcm
TH2:$q>1$. Dễ có: $q\leq \frac{4}{3}$ do $p=2$. Như vậy áp dụng BDT Schur:$r\geq \frac{8q-8}{9}$ thì cần CM: $10q^2-56q+36\leq 0\Leftrightarrow (q-4,..)(q-0,..)\leq 0$ đúng do $1<q\leq \frac{4}{3}<4$.
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1,c=0$ và các hoán vị.

ngoài phương pháp p,q,r thì em thấy phương pháp hàm số rất hữu dụng trong các bài kiểu này
Ta có:
A=$a^{3}(b^{2}+c^{2})+b^{3}(c^{2}+a^{2})+c^{3}(a^{2}+b^{2})=\sum a^{2}b^{2}(a+b)=a^{2}b^{2}(a+b)+2c^{2}(a^{2}+b^{2}-2ab(a+b))$
đặt $t=c^{2}$ $0\leq t\leq 4$
ta có A=$f(t)$
là hàm bậc nhất nên $f(t)\leq Max (f(0),f(4))$
$f(4)=0$
xét $f(0)=2ab$ với a+b=2


Vậy Max=2

[provotinhvip]

ngoài phương pháp p,q,r thì em thấy phương pháp hàm số rất hữu dụng trong các bài kiểu này
Ta có:
A=$a^{3}(b^{2}+c^{2})+b^{3}(c^{2}+a^{2})+c^{3}(a^{2}+b^{2})=\sum a^{2}b^{2}(a+b)=a^{2}b^{2}(a+b)+2c^{2}(a^{2}+b^{2}-2ab(a+b))$
đặt $t=c^{2}$ $0\leq t\leq 4$
ta có A=$f(t)$
là hàm bậc nhất nên $f(t)\leq Max (f(0),f(4))$
$f(4)=0$
xét $f(0)=2ab$ với a+b=2


Vậy Max=2

Mình thấy pp đạo hàm này khá hay! cơ mà có một cái mình toàn bị mắc trong quá trình giải là điều kiện của f(t) với t trong khoảng nào đó! mình toàn xác định sai! bạn có chỉ mình cách khắc phục hay cái gì đại loại thế không?

[dtvanbinh]

Mình thấy pp đạo hàm này khá hay! cơ mà có một cái mình toàn bị mắc trong quá trình giải là điều kiện của f(t) với t trong khoảng nào đó! mình toàn xác định sai! bạn có chỉ mình cách khắc phục hay cái gì đại loại thế không?

pm yahoo mình nhé dtvanbinh