Chủ đề này có 2 trả lời

[.::skyscape::.]

cho x,y, z là các số thực dương có x+y+z=6.chứng minh răng:
$$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}\geq 2$$

[25 minutes]

cho x,y, z là các số thực dương có x+y+z=6.chứng minh răng:
$$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}\geq 2$$

Ta có $\sum \frac{x}{\sqrt{y^2+2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)}}$
Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)} \leq \frac{y+1+y^2-y+1}{2}=\frac{y^2+2}{2}$
Do đó $\sum \frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)}} \geq \sum \frac{2x}{y^2+2}= \sum \frac{x(y^2+2)-xy^2}{y^2+2}= \sum x- \sum \frac{xy^2}{y^2+2}=6- \sum\frac{xy^2}{y^2+2}$
Ta chỉ cần chứng minh $\sum\frac{xy^2}{y^2+2}\leq 4$ (1)
Ta có $y^2+2=\frac{y^2}{2}+\frac{y^2}{2}+2 \geq 3y\sqrt[3]{\frac{y}{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{xy^2}{y^2+2} \geq \frac{xy}{3\sqrt[3]{\frac{y}{2}}}$
Chuyển $(\sqrt[3]{\frac{x}{2}}...0)\rightarrow (a...)\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3$ và ta cần chứng minh $\sum \frac{4a^3b^3}{3b}\leq 4\Leftrightarrow \sum a^3b^2\leq 3$
Áp dụng bđt Holder ta có $(\sum a^3b^2)^3=(ab.ab.a+bc.bc.b+ca.ca.c)^3\leq (a^3b^3+c^3b^3+c^3a^3)^2(a^3+b^3+c^3)\leq \frac{(a^3+b^3+c^3)^5}{9}=27$
Vậy (1) được chứng minh
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$ ?

[hondapcx]

Bài này có làm theo cách lớp 8 đc hok dị