Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

cho x,y, z là các số thực dương có x+y+z=6


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 .::skyscape::.

.::skyscape::.

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 95 Bài viết

Đã gửi 18-02-2013 - 17:25

cho x,y, z là các số thực dương có x+y+z=6.chứng minh răng:
$$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}\geq 2$$

#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 18-02-2013 - 19:34

cho x,y, z là các số thực dương có x+y+z=6.chứng minh răng:
$$\frac{x}{\sqrt{y^{3}+1}}+\frac{y}{\sqrt{z^{3}+1}}+\frac{z}{\sqrt{x^{3}+1}}\geq 2$$

Ta có $\sum \frac{x}{\sqrt{y^2+2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)}}$
Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)} \leq \frac{y+1+y^2-y+1}{2}=\frac{y^2+2}{2}$
Do đó $\sum \frac{x}{\sqrt{(y+1)(y^2-y+1)}} \geq \sum \frac{2x}{y^2+2}= \sum \frac{x(y^2+2)-xy^2}{y^2+2}= \sum x- \sum \frac{xy^2}{y^2+2}=6- \sum\frac{xy^2}{y^2+2}$
Ta chỉ cần chứng minh $\sum\frac{xy^2}{y^2+2}\leq 4$ (1)
Ta có $y^2+2=\frac{y^2}{2}+\frac{y^2}{2}+2 \geq 3y\sqrt[3]{\frac{y}{2}}$
$\Rightarrow \sum \frac{xy^2}{y^2+2} \geq \frac{xy}{3\sqrt[3]{\frac{y}{2}}}$
Chuyển $(\sqrt[3]{\frac{x}{2}}...0)\rightarrow (a...)\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3$ và ta cần chứng minh $\sum \frac{4a^3b^3}{3b}\leq 4\Leftrightarrow \sum a^3b^2\leq 3$
Áp dụng bđt Holder ta có $(\sum a^3b^2)^3=(ab.ab.a+bc.bc.b+ca.ca.c)^3\leq (a^3b^3+c^3b^3+c^3a^3)^2(a^3+b^3+c^3)\leq \frac{(a^3+b^3+c^3)^5}{9}=27$
Vậy (1) được chứng minh
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$ ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 hondapcx

hondapcx

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bố mẹ

Đã gửi 18-02-2013 - 21:35

Bài này có làm theo cách lớp 8 đc hok dị




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh