Chủ đề này có 5 trả lời

[caokhanh97]

Cho a,b > 0. CMR : $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

[banhgaongonngon]

Cho a,b > 0. CMR : $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

$\frac{1}{\sqrt{3a+b}}+\frac{1}{\sqrt{3b+a}}\leq \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $(1)$
Ta có $\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{3a+b}} \right )^{2}\leq 2\left (\sum \frac{1}{3a+b} \right )=\frac{8(a+b)}{3a^{2}+3b^{2}+10ab}$
Ta cần chứng minh

$\frac{8(a+b)}{3a^{2}+3b^{2}+10ab}\leq \frac{4}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$ $(2)$

Thật vậy

$(2)\Leftrightarrow \frac{2(a+b)}{3(a+b)^{2}+4ab}\leq \frac{1}{a+b+2\sqrt{ab}}$

$\Leftrightarrow 2(a+b)^{2}+4\sqrt{ab}(a+b)\leq 3(a+b)^{2}+4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^{2}+4ab\geq 4\sqrt{ab}(a+b)$ (đúng theo bất đẳng thức $AM-GM$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 19-02-2013 - 20:37

[caokhanh97]

$\frac{1}{\sqrt{3a+b}}+\frac{1}{\sqrt{3b+a}}\leq \frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ $(1)$
Ta có $\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{3a+b}} \right )^{2}\leq 2\left (\sum \frac{1}{3a+b} \right )=\frac{8(a+b)}{3a^{2}+3b^{2}+10ab}$
Ta cần chứng minh

$\frac{8(a+b)}{3a^{2}+3b^{2}+10ab}\leq \frac{4}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$ $(2)$

Thật vậy

$(2)\Leftrightarrow \frac{2(a+b)}{3(a+b)^{2}+4ab}\leq \frac{1}{a+b+2\sqrt{ab}}$

$\Leftrightarrow 2(a+b)^{2}+4\sqrt{ab}(a+b)\leq 3(a+b)^{2}+4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^{2}+4ab\geq 4\sqrt{ab}(a+b)$ (đúng theo bất đẳng thức $AM-GM$)

a có thể chỉ cho e hướng để làm được bài này k ạ

[banhgaongonngon]

a có thể chỉ cho e hướng để làm được bài này k ạ

Đầu tiên dùng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ để đánh giá được vế trái.
Sau đó sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh nốt cái còn lại

P/s: Mình bằng tuổi bạn đấy Xưng hô anh-chị nghe lạ lạ thế nào ấy

[rongthan]

Cho a,b > 0. CMR : $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2(*)$

$(*) \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}} \leq \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
$\Leftrightarrow -(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\frac{4\sqrt{ab}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+3b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b+3a})\sqrt{b+3a}\sqrt{a+3b}} \leq 0$

[dtvanbinh]

............................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dtvanbinh: 21-02-2013 - 10:47