Chủ đề này có 8 trả lời

[uyenhoang]

Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=4xyz$. Chứng minh rằng:
\[
\sum {\frac{1}{{x\left( {y + z} \right)}}} \ge \frac{5}{{x + y + z}}
\]

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-02-2013 - 20:30

[WhjteShadow]

Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z=4xyz$. Chứng minh rằng:
\[
\sum {\frac{1}{{x\left( {y + z} \right)}}} \ge \frac{5}{{x + y + z}}
\]

Đặt $\frac{1}{2x}=a,\frac{1}{2y}=b,\frac{1}{2z}=c$ thì ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$, cần chứng minh:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{5}{2}$$
Và đây là bất đẳng thức quen thuộc, bạn tham khảo 3 cách ở link dưới nhé
http://diendantoanho...c1abgeq-frac52/
P/s: Lần sau bạn nhớ đặt tiêu đề và gõ $\LaTeX$ đầy đủ khi tham gia diễn đàn, thân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-02-2013 - 21:06

[uyenhoang]

Đặt $\frac{1}{2x}=a,\frac{1}{2y}=b,\frac{1}{2z}=c$ thì ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$, cần chứng minh:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{5}{2}$$
Và đây là bất đẳng thức quen thuộc, bạn tham khảo 3 cách ở link dưới nhé
http://diendantoanho...c1abgeq-frac52/
P/s: Lần sau bạn nhớ đặt tiêu đề và gõ $\LaTeX$ đầy đủ khi tham gia diễn đàn, thân

dạ , trước hết em cảm ơn anh ạ , anh có thể nói cách khác dễ hiểu hơn không ạ
-----------------------
Bạn ơi 3 cách đó là dễ hiểu nhất rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-02-2013 - 21:25

[dtvanbinh]

dạ , trước hết em cảm ơn anh ạ , anh có thể nói cách khác dễ hiểu hơn không ạ
-----------------------
Bạn ơi 3 cách đó là dễ hiểu nhất rùi

dùng toàn bộ là hàm số nhé
giả sử x>=y>=z
Vt-VP=f(z)
f'(z)=......<0 (dài quá ngại gõ)
nên f(z)<=f(y)=g(x)=1/2xy+2/y(x+y)-5/4y^2
g'(x)<0
nên g(x)> lim g(x) khi x ra vô cùng=lim g'(x) khi x ra vo cùng >0
ta có đpcm

[perfectstrong]

Bđt mạnh hơn sau có đúng không?
\[
\sum {\frac{1}{{x\left( {y + z} \right)}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{x + y + z}},\left( 1 \right)
\]

[rongthan]

Bđt mạnh hơn sau có đúng không?
\[
\sum {\frac{1}{{x\left( {y + z} \right)}}} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{x + y + z}},\left( 1 \right)
\]

cái này có đk gì không vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rongthan: 19-02-2013 - 22:43

[perfectstrong]

cai nay co dk j` khong?

Gõ tiếng việt đi bạn nhé.
Đk vẫn như bài toán gốc.

[dark templar]

Ta có thể dồn biến bài này theo kiểu $f(a;b;c) \ge f\left(a+b;\frac{1}{a+b};0 \right)$ hay đặt $x=a+b+c$ và hãy xét thêm 2 trường hợp $x \ge 2$ và $x \le 2$ (lời giải này của anh Phan Thành Nam)

@Hân:Anh trả lời em trong tin nhắn rồi mà :|

[Ispectorgadget]

Ta có $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$, cần chứng minh:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{5}{2}$$

Muốn lượng giác thì thế này
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$
Nếu $c=0$ thì $ab=1$. Ta có $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{5}{2}$$
Hay $$(a+b-\frac{1}{2})(a+b-2)\ge 0$$
BĐT này đúng theo AM-GM

Đặt $a=tan \frac{A}{2};b=tan \frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$ với $A,B,C$ là 3 đỉnh của tam giác. Ta có $$\frac{1}{a+b}=\frac{\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}}{\sin \frac{A+B}{2}}=\frac{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}{\cos \frac{C}{2}}$$

Thiết lập tương tự ta quy về chứng minh\[\frac{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{C}{2}}} + \frac{{\cos \frac{C}{2}\cos \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{A}{2}}} + \frac{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}} \ge \frac{5}{2}\]

Bình phương 2 vế ta có $$\sum \frac{\cos^2 \frac{A}{2}\cos^2\frac{B}{2}}{\cos^2 \frac{C}{2}} +2\cos ^2\frac{A}{2}\ge \frac{25}{4}$$

Sử dụng kết quả quen thuộc: $$\cos ^2 \frac{A}{2}+\cos ^2\frac{B}{2}+\cos^2\frac{C}{2}\ge 2$$
Vậy bài toán được chứng minh. $\blacksquare$

Nhận xét: Lời giải bằng lượng giác dài dòng phức tạp, khó biến đổi nên làm theo phương pháp đại số thông thường.

@Mod nào vô xóa mấy commnen không cần thiết ở trên dùm nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-02-2013 - 10:51