Cho $a,b,c \geq 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. CMR : $1\leq \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab} \leq \sqrt{2}$
$1\leq \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab} \leq \sqrt{2}$
Bắt đầu bởi caokhanh97, 19-02-2013 - 21:25
#2
Đã gửi 19-02-2013 - 21:49
Joker9999
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Quen thuộc rồiCho $a,b,c \geq 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$. CMR : $1\leq \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab} \leq \sqrt{2}$
Lời giải:
CM vế trái:
Ta có: $\frac{a}{1+bc}=\frac{a^2}{a+abc}\geq \frac{a^2}{a+a\frac{b^2+c^2}{2}}=\frac{a^2}{a+\frac{a(1-a^2)}{2}}\geq a^2$, thiết lâp các BDT tt rồi cộng lại.
CM vế phải:
Ta có:$a+b+c\leq \sqrt{2}(1+bc)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leq 2+4bc+2b^2c^2\Leftrightarrow 2b^2c^2+2bc+1-2a(b+c)\geq 0\Leftrightarrow (b+c-a)^2+b^2c^2\geq 0$ đúng
Thiết lập các bdt tt rồi cộng lại
- dtvanbinh, ducthinh26032011, caokhanh97 và 1 người khác yêu thích
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#3
Đã gửi 19-02-2013 - 22:09
caokhanh97
-
- Thành viên
-
- 78 Bài viết
Hạ sĩ
a giải thích dùm e chỗ $\frac{a^{2}}{a+\frac{a(1-a^{2})}{2}} \geq a^{2}$Quen thuộc rồi
Lời giải:
CM vế trái:
Ta có: $\frac{a}{1+bc}=\frac{a^2}{a+abc}\geq \frac{a^2}{a+a\frac{b^2+c^2}{2}}=\frac{a^2}{a+\frac{a(1-a^2)}{2}}\geq a^2$, thiết lâp các BDT tt rồi cộng lại.
CM vế phải:
Ta có:$a+b+c\leq \sqrt{2}(1+bc)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leq 2+4bc+2b^2c^2\Leftrightarrow 2b^2c^2+2bc+1-2a(b+c)\geq 0\Leftrightarrow (b+c-a)^2+b^2c^2\geq 0$ đúng
Thiết lập các bdt tt rồi cộng lại
C.K
#4
Đã gửi 19-02-2013 - 22:17
Joker9999
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Cái này mà cũng hỏi à bạn X_X. Chỉ cần CM $a+\frac{a(1-a^2)}{2}\leq 1$ thôi mà.a giải thích dùm e chỗ $\frac{a^{2}}{a+\frac{a(1-a^{2})}{2}} \geq a^{2}$
Tương đương: $1-\frac{(a-1)^2(a+2)}{2}\leq 1$ đúng
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#5
Đã gửi 19-02-2013 - 22:26
dtvanbinh
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
Quen thuộc rồi
Lời giải:
CM vế trái:
Ta có: $\frac{a}{1+bc}=\frac{a^2}{a+abc}\geq \frac{a^2}{a+a\frac{b^2+c^2}{2}}=\frac{a^2}{a+\frac{a(1-a^2)}{2}}\geq a^2$, thiết lâp các BDT tt rồi cộng lại.
CM vế phải:
Ta có:$a+b+c\leq \sqrt{2}(1+bc)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\leq 2+4bc+2b^2c^2\Leftrightarrow 2b^2c^2+2bc+1-2a(b+c)\geq 0\Leftrightarrow (b+c-a)^2+b^2c^2\geq 0$ đúng
Thiết lập các bdt tt rồi cộng lại
bài giải nào của bạn này cũng thấy rất thích,đẹp nữa
$(2x^{2}+2y^{2}+z^{2}-1)^{3}-\frac{1}{10}x^{2}z^{3}-y^{2}z^{3}=0$
$(x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}+z^{2}-1)^{3}-x^{2}z^{3}-\frac{9}{80}y^{2}z^{3}=0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
