Chủ đề này có 7 trả lời

[ducthinh26032011]

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 20-02-2013 - 19:32

[Primary]

Bài 1:
Do $c$ nguyên nên $c^2\equiv 0$ (mod 3) hoặc $c^2\equiv 1$ (mod 3)
$\Rightarrow c(c+3)\equiv x$ (mod 3) với $x\in$ {$0;1$}
$\Rightarrow a(a+3)+b(b+3)\equiv y$ (mod 3) với $y\in$ {0,1,2}
Mà $\Rightarrow a(a+3)+a(a+3)\equiv a^2+b^2$ (mod 3)
Vì $a,b$ nguyên tố nên $a^2+b^2\equiv 2$ (mod 3)
Từ trên suy ra ít nhất một trong $a$ hoặc $b$ có giá trị là 3. Do $a,b$ có vai trò như nhau nên giả sử $a=3$ (*)
Khi đó: $18+b^2+3b=c^2+3c\Leftrightarrow (c-b)(b+c+3)=18$
Dễ dàng chứng minh được: $(b+c+3)-(c-b)\geq 7$. Từ đó ta rìm được cặp số $(b;c)$ là $(7;8);(2;4)$
Do (*) nên ta tìm được: $(a;b;c)=(3;7;8);(7;3;8);(3;2;4);(2;3;4)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 21-02-2013 - 08:50

[phanquockhanh]

Bài 2
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25(1)$
$(1)\Leftrightarrow 3x-5+\sqrt[3]{3x-5}=(2x-3)^{3}+2x-3$
Xét hàm số:$f(t)=t^{3}+t$ trên R
Ta có:$f({t})'=3t^{2}+1> 0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow$ f(t) đồng biến trên R
Pt$\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{3x-5})=f(2x-3 )\Leftrightarrow3x-5=(2x-3)^{3}\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )(8x^{2}-20x^{2}+11)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 20-02-2013 - 19:56

[25 minutes]

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
Giả sử $ab^2+bc^2+ca^2 \geq 3$, ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^5}{b+c} \geq \frac{3}{2}$
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta giả sử $a \geqb \geq c$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a^4 \geq b^4 \geq c^4\\\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{a+c} \geq \frac{c}{a+b}

\end{matrix}\right.$
Áp dụng Chebyshev ta có $\sum \frac{a^5}{b+c}= \sum \frac{a}{b+c}.a^4\geq \frac{a^4+b^4+c^4}{3}.\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{a^4+b^4+c^4}{2}$
( bđt Nesbit )
Áp dụng AM-GM ta lại có $a^4+b^4+b^4+1 \geq 4ab^2\Rightarrow 3(a^4+b^4+c^4)+3 \geq 4(ab^2+bc^2+ca^2) \geq 12$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4 \geq 3$
Do đó $\sum \frac{a^5}{b+c} \geq \frac{a^4+b^4+c^4}{2} \geq \frac{3}{2}$
Vậy ta có đpcm ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 20-02-2013 - 20:31

[N H Tu prince]

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Cách khác: Đặt $\sqrt[3]{3x-5}=2y-3$ ta có hệ
$\left\{\begin{matrix}8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3 \end{matrix}\right.$
Cách giải hệ trên giống cách giải hệ đối xứng loại II

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 20-02-2013 - 20:22

[nqthanh123]

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((

Câu 3: Sử dụng tỉ số kép để chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.

Câu 4: Theo bất đẳng thức Schur ta có:
$(3\sum a^3)^2\geq (2\sum a^3 +3abc)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^2(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)^3$ (1)

Mặt khác ta chứng mình được $a^3+ b^3+ c^3 \geq ab^2+ bc^2 + ca^2$
Suy ra $\left ( \frac{3}{2} \right )^3 \geq \left ( \frac{(\sum a^3)^2}{2\sum ab}\right )^3 \geq \frac{\left ( \sum a^3 \right )^4}{24} \geq \frac{1}{24}(ab^2+ bc^2 +ca^2)^4$
dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nqthanh123: 20-02-2013 - 21:48

[ilovemath97]

Thời gian: 180 phút
Bài 1: Tìm $a,b,c$ là các số nguyên dương, trong đó a,b là các số nguyên tố, thỏa mãn phương trình sau:
$a(a+3)+b(b+3)=c(c+3)$

Bài 2: Giải phương trình:
$\sqrt[3]{3x-5}= 8x^3-36x^2+53x-25$

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng mình rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMN, ONP, OPM bằng nhau

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$
P/s:Tức quá,câu hình bỏ đã đành,câu pt cho k cũng k làm được,ức chế quá!! X((

Bài hình giải như sau:
Ta sử dụng 1 bổ đề, đó là định lí BROKARD
Định lí Brokard: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, Gọi $M,N,P$ là các giao điểm của:$AB$ và $CD$ ; $AD$ và $BC$; $AC$ và $BD$. Khi đó $O$ là trực tâm của tam giác $MNP$

C/m định lí:
Gọi $I,K$ lần lượt là giao điểm của $MP$ với $BC$ và $AD$
Xét cực và đối cực đối với $(O)$:
Ta có $(NKAD)=-1$ nên đường đối cực của $N$ qua $K$
Qua phép chiếu xuyên tâm $M$, ta cũng có $(NIBC)=-1$ nên đường đối cực của $N$ qua$I$
Từ đó $IK$ chính là đường đối cực của $N$
Do đó, $ON$ vuống góc $KI$, hay $ON$ vuông góc $MP$
Hoàn toàn tương tự, ta c/m đc $OM$ vuông góc $NP$
Và do vây, $O$ là trực tâm của tam giác $MNP$, bổ đề đã đc c/m hoàn tất

Quay lại bài toán, gọi$R1,R2,R3$ lần lượt là các bán kính của $(OPN),(OPM),(OMN)$
Trc hết ta chứng minh $R1=R2$
Thật vậy, có $2\times R1=\frac{OP}{sin\angle ONP}$ ; $2\times R2=\frac{OP}{sin\angle OMP}$
Mà từ $NP$ vuông góc $OM$; $MP$ vuông góc $ON$, ta suy ra đc

$\angle ONP=\angle OMP$, Từ đó $R1=R2$
Ta chứng minh $R1=R3$
Có $2\times R1=\frac{ON}{sin\angle OPN}$ ; $2\times R3=\frac{ON}{sin\angle OMN}$
Từ $OP$ vuông góc $MN$, $NP$ vuông góc $OM$, ta có ngay $sin\angle OPN=sin\angle OMN$(2 góc bù nhau sin bằng nhau)
Từ đó có $R1=R3$
Vậy ta đã chứng minh đc $R1=R2=R3$ nên có đpcm

Hình gửi kèm

• 

[Sagittarius912]

Bài 4: Cho a,b,c >0 và thỏa mãn đẳng thức sau:
$\sum (\frac{a^5}{b+c}) = \frac{3}{2}$
Chứng minh $ab^2 + bc^2 + ca^2 \leq 3$

Sử dụng bdt Chebyshev:

$\sum (\frac{a^{5}}{b+c})\ge\frac{1}{3} (\sum a^{4})(\sum \frac{a}{{b+c}})$

Mặt khác theo bdt Nesbit

$\sum \frac{a}{b+c}\ge \frac{3}{2}$

$\Rightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\le 3$

Sử dụng Cauchy-Shwarz:

$(\sum a^{4})(1+1+1)\ge (\sum a^{2})^{2}$

$\Rightarrow \sum a^{2}\le 3$

Lại sử dụng Cauchy_Schwarz tiếp

$(\sum ab^{2})^{2}\le (\sum a^{4})(\sum a^{2})\le 3.3$

=> dpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$