Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhelf96]

Giả sử $a_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^1}{1} +\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right )$
Chứng minh rẳng dãy số $a_{n}$ là dãy số giảm và tính giới hạn của $a_{n}$ biết $a_{n}$ là dãy có giới hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhelf96: 21-02-2013 - 20:42

[Sagittarius912]

Giả sử $a_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^1}{1} +\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right )$
Chứng minh rẳng dãy số $a_{n}$ là dãy số giảm và tính giới hạn của $a_{n}$ biết $a_{n}$ là dãy có giới hạn

Ta có:

$S_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}[\frac{n+1}{2^{n+1}}(\frac{2}{1}+\frac{2^{2}}{2}+...+\frac{2^{n+1}}{n+1})]+\frac{n+2}{2(n+1)}= \frac{n+2}{2(n+1)}(S_{n}+1)$

tương tự

$S_{n+2}= \frac{n+3}{2(n+2)}(S_{n+1}+1)$ (1)

Do đó

$S_{n+2}-S_{n+1}=\frac{(n^{2}+4n+3)(S_{n+1}-S_{n})-S_{n}-1}{2(n+1)(n+2)} < 0$

=> $S_{n}$ là dãy giảm

và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn

Giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=a$

Thay vào (1), giải pt giới hạn => $a=1$
Vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 21-02-2013 - 21:24

[thanhelf96]

bạn ơi có thể giải thích giúp mình chỗ làm sao tìm ra a =1 k?

[Sagittarius912]

bạn ơi có thể giải thích giúp mình chỗ làm sao tìm ra a =1 k?

$S_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}(S_{n}+1)\Rightarrow a=\frac{1}{2}(a+1)\Rightarrow a=1$