Đến nội dung

Hình ảnh

Ứng dụng Định lý Lagrange

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
win4i1984

win4i1984

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Chào các bạn! Tôi đang thu thập tài liệu về các bài toán có thể sử dụng định lý Lagrange để giải. thế nhưng tôi thấy rất ít sách viết về vấn đề này ( nếu có cũng rất sơ sài và đơn giản). Vì vậy kính mong các bạn giúp tôi bằng cách post lại cho tôi nhưng bài toán có sử dụng Lagrang để giải ( có lời giải lại càng tốt). Cảm ơn các bạn rất nhiều.

#2
namdx

namdx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết
Định lý Lagrange mà bạn nói có phải là:

$ \exists c \in (a,b), f'({c})=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Nếu mà định lý này thì có thể áp dụng để chứng minh điều sau:

Bài 1
Cho $f(x)$ thỏa mãn $ f'(x)=0,\forall x \in (a,b)$. Chứng minh $ f(x) \equiv C,\forall x \in (a,b)$

#3
win4i1984

win4i1984

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Đúng rồi đó, định lý này phổ biến trên TG với tên gọi ĐL giá trị trung bình hơn (the mean value theorm). Nhung cai ban neu ra chi la một trong số rất ít những ứng dụng của nó mà thôi. ĐL này còn có thể dùng để chứng minh Bất ĐẲng Thức và chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình nữa cơ. sau đây là một số ví dụ có thể sử dụng ĐL này để giải toán:

Bài 2: CMR:
$ (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} > 1$, $ x > 2$.

Bài 3. cho hàm g(x) liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ thỏa mãn $g(0)=g(1)=0$. cmr tồn tại c thuộc $(0,1)$ thỏa mãn $g'(c )=g (c ).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-11-2012 - 07:59


#4
win4i1984

win4i1984

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
hoặc một ví dụ khác về GPT chẳng hạn:
Bài 4
$(1+cosx)(2+ 4^{cosx})= 3.4^{cosx} $
ai có thể giải pt này bằng lagrange nào?

Thêm một bài nữa nhé: cmr :
Bài 5
$ \arctan x + \arcsin {\dfrac{2x}{1+ x^2}} = sgn( x) \pi$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-01-2012 - 11:44


#5
win4i1984

win4i1984

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Nếu chúng ta dùng: "nguyên lý điểm bất động" kèm với đ.lý lagrange để giải tìm giới hạn của một dãy số thì sẽ giải được một số bài rất hay. thế nhưng tôi có ít tài liệu về điều này quá và bản thân tôi cũng đang nghiên cứu về nó:

Nguyên lý điểm bất động:
Nếu $|f(x)-f(y)| < |x-y|, (x\neq y)$ trong đó $x,y \in (a,b)$ thì $f(x)$ có một điểm bất động duy nhất .
và một hệ quả của nó sẽ là dãy số $x_{n+1} = f( x_{n})$ nếu thỏa mãn điều kiện trên sẽ hội tụ đến điểm bất động đó.
Tôi đang cố gắng nghĩ thêm bài về vấn đề này nhưng do ko có nhiều thời gian nên muốn nhờ mọi người ai có bài hoặc tài liệu nào tương tự thì cho tôi xin. Cảm ơn nhe, tôi sẽ gửi thêm một số ví dụ lên

#6
win4i1984

win4i1984

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
Một ứng dụng khác của định lý Lagrange là chứng minh bất đẳng thức đó. thử nhé:

Bài 6
Cho a<b<c<d, hãy chứng minh rằng:
$ \dfrac{ e^{b} - e^{a} }{ b - a } < \dfrac{e^{d} - e^{c}}{d - c}$
Các bạn thử làm và cho ý kiến nhé. thanks alot !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-01-2012 - 11:44


#7
Ronaldo

Ronaldo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 422 Bài viết
Tôi có 2 bài sử dụng định lý Lagrange cũng khá hay .Tôi lấy trong quyển 200 bài thi vô địch giải tích Hình đã gửi

Bài 7.Tìm $\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n}}{n^{\dfrac{4}{5}}}$
Bài 8. Cho dãy $ \{u_{n}\}$ thỏa mãn $ u_{0}>0$ và
$ u_{n+1}=u_{n}-e^{-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}}$
Chứng minh :$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}\ln n)=1$

#8
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Định lý Lagrange

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a;b)$ thì $\exists c \in (a,b)$ sao cho:
$$f'({c})=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$


Bài 1
Cho $f(x)$ thỏa mãn $ f'(x)=0,\forall x \in (a,b)$. Chứng minh $ f(x) \equiv C,\forall x \in (a,b)$

Giải
Vì $f'(x) = 0, \forall x \in (a,b)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục, khả vi trên $(a;b)$. Do đó, $\forall \alpha, \beta \in (a;b), (a < \alpha < \beta < b)$, theo định lý Lagrange, tồn tại số $d \in (\alpha; \beta)$ sao cho
$$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(d) = 0$$
Từ đó suy ra: $f(\alpha) = f(\beta) = C, \forall \alpha, \beta \in (a;b)$
Vậy ta có điều phải chứng minh

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Bài 2: CMR:
$ (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} > 1$, $ x > 2$.


Xét hàm số $f(t) = t.\cos \dfrac{\pi}{t}$. Dễ thấy hàm số liên tục trên $[x;x+1]$, khả vi trên $(x;x+1), (x>2)$. Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại số $c \in (x;x+1)$ sao cho:
$$f'(\c) = \dfrac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x} = (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}}$$
Mà:
$$f'(t) = \cos \dfrac{\pi}{t} + \dfrac{\pi}{t}\sin \dfrac{\pi}{t}$$
Đặt $g(u) = \cos u + u\sin u, u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$ ta có: $g'(u) = u\cos u > 0, \forall u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$
Vậy hàm số $g(u)$ đồng biến trên $\left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$. Do đó:
$$g(u) \geq g(0) = 1, \forall u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$$
hay
$$f'(t) = \cos \dfrac{\pi}{t} + \dfrac{\pi}{t}\sin \dfrac{\pi}{t} > 1, \forall t > 2$$
Vậy
$$(x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} = f'© > 1, , \forall x > 2$$, ta có đpcm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#10
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Bài 3. cho hàm g(x) liên tục trên [0,1] và khả vi trên (0,1) thỏa mãn g(0)=g(1)=0. cmr tồn tại c thuộc (0,1) thỏa mãn g'(c )=g (c ).


Xét hàm số: $f(x) = \dfrac{g(x)}{e^x}$. Dễ thấy hàm số $f(x)$liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ và $f(0) = f(1) = 0$. Do đó, tồn tại số $c$ thuộc $(0;1)$ sao cho:
$$f'© = \dfrac{f(1) - f(0)}{1-0} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{g'©e^c-e^c.g©}{e^{2c}}=0 $$
$$\Leftrightarrow g©=g'©$$
Ta có đpcm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#11
dangerous_nicegirl

dangerous_nicegirl

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
Chứng minh với $a-b+c=0$ thì phương trình $a\sin x+9b\sin3x+25c \sin5x=0$ có 4 nghiệm thuộc $(0:\pi)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-11-2012 - 07:58


#12
Mai Xuan Son

Mai Xuan Son

    Vagrant

  • Thành viên
  • 274 Bài viết

Xét hàm số: $f(x) = \dfrac{g(x)}{e^x}$. Dễ thấy hàm số $f(x)$liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ và $f(0) = f(1) = 0$. Do đó, tồn tại số $c$ thuộc $(0;1)$ sao cho:
$$f'© = \dfrac{f(1) - f(0)}{1-0} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{g'©e^c-e^c.g©}{e^{2c}}=0 $$
$$\Leftrightarrow g©=g'©$$
Ta có đpcm

Đồng nghĩa với việc pt có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
vì theo rolle thì $g'(x)=0$ hay tồn tại 1 nghiệm thuộc khoảng đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 02-11-2012 - 23:51

~~~like phát~~~

#13
MazacarJin15

MazacarJin15

    True Blue

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Chứng minh với $a-b+c=0$ thì phương trình $a\sin x+9b\sin3x+25c \sin5x=0$ có 4 nghiệm thuộc $(0:\pi)$

Có nghiệm hay có 4 nghiệm vây ?
Hình đã gửi

#14
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Ai có thể chứng minh Định lí Lagrange, định lí Rolle, Cauchy, Quy tắc L'Hopital không? Post lên cho mình xem mới!

Nếu có tài liệu về các định lí trên thì càng tốt!

Mình cám ơn trước!.. :icon12:  :icon12:  :icon12:


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#15
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Những định lý này nếu muốn chứng minh thì lại cần chứng minh một số thứ nữa. Theo mình bạn chưa cần mất thời gian hiểu chứng minh làm gì mà nắm được ý nghĩa của nó thì tốt hơn. 



#16
gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết

chào các bạn đây là tài liệu về các định lý trên

File gửi kèm


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh