Ứng dụng Định lý Lagrange
#1
Đã gửi 15-12-2005 - 17:25
- quanguefa yêu thích
#2
Đã gửi 15-12-2005 - 21:30
$ \exists c \in (a,b), f'({c})=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Nếu mà định lý này thì có thể áp dụng để chứng minh điều sau:
Bài 1
Cho $f(x)$ thỏa mãn $ f'(x)=0,\forall x \in (a,b)$. Chứng minh $ f(x) \equiv C,\forall x \in (a,b)$
- Tea Coffee yêu thích
#3
Đã gửi 28-12-2005 - 12:05
Bài 2: CMR:
$ (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} > 1$, $ x > 2$.
Bài 3. cho hàm g(x) liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ thỏa mãn $g(0)=g(1)=0$. cmr tồn tại c thuộc $(0,1)$ thỏa mãn $g'(c )=g (c ).$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-11-2012 - 07:59
#4
Đã gửi 28-12-2005 - 13:38
Bài 4
$(1+cosx)(2+ 4^{cosx})= 3.4^{cosx} $
ai có thể giải pt này bằng lagrange nào?
Thêm một bài nữa nhé: cmr :
Bài 5
$ \arctan x + \arcsin {\dfrac{2x}{1+ x^2}} = sgn( x) \pi$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-01-2012 - 11:44
#5
Đã gửi 04-01-2006 - 17:57
Nguyên lý điểm bất động:
Nếu $|f(x)-f(y)| < |x-y|, (x\neq y)$ trong đó $x,y \in (a,b)$ thì $f(x)$ có một điểm bất động duy nhất .
và một hệ quả của nó sẽ là dãy số $x_{n+1} = f( x_{n})$ nếu thỏa mãn điều kiện trên sẽ hội tụ đến điểm bất động đó.
Tôi đang cố gắng nghĩ thêm bài về vấn đề này nhưng do ko có nhiều thời gian nên muốn nhờ mọi người ai có bài hoặc tài liệu nào tương tự thì cho tôi xin. Cảm ơn nhe, tôi sẽ gửi thêm một số ví dụ lên
#6
Đã gửi 19-01-2006 - 12:03
Bài 6
Cho a<b<c<d, hãy chứng minh rằng:
$ \dfrac{ e^{b} - e^{a} }{ b - a } < \dfrac{e^{d} - e^{c}}{d - c}$
Các bạn thử làm và cho ý kiến nhé. thanks alot !!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 23-01-2012 - 11:44
#7
Đã gửi 19-01-2006 - 14:40
Bài 7.Tìm $\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_{n}}{n^{\dfrac{4}{5}}}$
Bài 8. Cho dãy $ \{u_{n}\}$ thỏa mãn $ u_{0}>0$ và
$ u_{n+1}=u_{n}-e^{-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}}$
Chứng minh :$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}\ln n)=1$
#8
Đã gửi 23-01-2012 - 11:17
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a;b)$ thì $\exists c \in (a,b)$ sao cho:
$$f'({c})=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
GiảiBài 1
Cho $f(x)$ thỏa mãn $ f'(x)=0,\forall x \in (a,b)$. Chứng minh $ f(x) \equiv C,\forall x \in (a,b)$
Vì $f'(x) = 0, \forall x \in (a,b)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục, khả vi trên $(a;b)$. Do đó, $\forall \alpha, \beta \in (a;b), (a < \alpha < \beta < b)$, theo định lý Lagrange, tồn tại số $d \in (\alpha; \beta)$ sao cho
$$\dfrac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta - \alpha} = f'(d) = 0$$
Từ đó suy ra: $f(\alpha) = f(\beta) = C, \forall \alpha, \beta \in (a;b)$
Vậy ta có điều phải chứng minh
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#9
Đã gửi 23-01-2012 - 19:33
Bài 2: CMR:
$ (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} > 1$, $ x > 2$.
Xét hàm số $f(t) = t.\cos \dfrac{\pi}{t}$. Dễ thấy hàm số liên tục trên $[x;x+1]$, khả vi trên $(x;x+1), (x>2)$. Áp dụng định lý Lagrange, tồn tại số $c \in (x;x+1)$ sao cho:
$$f'(\c) = \dfrac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x} = (x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}}$$
Mà:
$$f'(t) = \cos \dfrac{\pi}{t} + \dfrac{\pi}{t}\sin \dfrac{\pi}{t}$$
Đặt $g(u) = \cos u + u\sin u, u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$ ta có: $g'(u) = u\cos u > 0, \forall u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$
Vậy hàm số $g(u)$ đồng biến trên $\left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$. Do đó:
$$g(u) \geq g(0) = 1, \forall u \in \left [ 0; \frac{\pi}{2} \right ]$$
hay
$$f'(t) = \cos \dfrac{\pi}{t} + \dfrac{\pi}{t}\sin \dfrac{\pi}{t} > 1, \forall t > 2$$
Vậy
$$(x+1)cos{\dfrac{\pi}{x+1}} - \ xcos{\dfrac{\pi}{x}} = f'© > 1, , \forall x > 2$$, ta có đpcm
- Phuong Thu Quoc yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#10
Đã gửi 23-01-2012 - 20:11
Bài 3. cho hàm g(x) liên tục trên [0,1] và khả vi trên (0,1) thỏa mãn g(0)=g(1)=0. cmr tồn tại c thuộc (0,1) thỏa mãn g'(c )=g (c ).
Xét hàm số: $f(x) = \dfrac{g(x)}{e^x}$. Dễ thấy hàm số $f(x)$liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ và $f(0) = f(1) = 0$. Do đó, tồn tại số $c$ thuộc $(0;1)$ sao cho:
$$f'© = \dfrac{f(1) - f(0)}{1-0} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{g'©e^c-e^c.g©}{e^{2c}}=0 $$
$$\Leftrightarrow g©=g'©$$
Ta có đpcm
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#11
Đã gửi 20-10-2012 - 20:52
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-11-2012 - 07:58
#12
Đã gửi 02-11-2012 - 23:37
Đồng nghĩa với việc pt có nghiệm thuộc khoảng (0;1)Xét hàm số: $f(x) = \dfrac{g(x)}{e^x}$. Dễ thấy hàm số $f(x)$liên tục trên $[0,1]$ và khả vi trên $(0,1)$ và $f(0) = f(1) = 0$. Do đó, tồn tại số $c$ thuộc $(0;1)$ sao cho:
$$f'© = \dfrac{f(1) - f(0)}{1-0} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{g'©e^c-e^c.g©}{e^{2c}}=0 $$
$$\Leftrightarrow g©=g'©$$
Ta có đpcm
vì theo rolle thì $g'(x)=0$ hay tồn tại 1 nghiệm thuộc khoảng đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tops2liz: 02-11-2012 - 23:51
#13
Đã gửi 05-11-2012 - 23:05
#14
Đã gửi 18-04-2014 - 14:56
Ai có thể chứng minh Định lí Lagrange, định lí Rolle, Cauchy, Quy tắc L'Hopital không? Post lên cho mình xem mới!
Nếu có tài liệu về các định lí trên thì càng tốt!
Mình cám ơn trước!..
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
#15
Đã gửi 18-04-2014 - 15:59
Những định lý này nếu muốn chứng minh thì lại cần chứng minh một số thứ nữa. Theo mình bạn chưa cần mất thời gian hiểu chứng minh làm gì mà nắm được ý nghĩa của nó thì tốt hơn.
#16
Đã gửi 21-08-2015 - 21:54
chào các bạn đây là tài liệu về các định lý trên
File gửi kèm
Mabel Pines - Gravity Falls
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh