Chủ đề này có 10 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 22/02/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 20 có 18 toán thủ nên sẽ có 4 toán thủ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

[E. Galois]

Đề bài:Tìm các số tự nhiên $x$ thoả mãn: nếu $1$ số tự nhiên chia hết cho số $x$ thì số được tạo bởi các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại cũng chia hết cho $x$.
Đề của
Joker9999

[nguyenthehoan]

x=1 hiền nhiên thoả mãn.Nếu x$\neq$1
Dễ thấy x không có ước 2 và 5 (Tuy đơn giản nhưng cũng cần giải thích!)
Giả sử số $\overline{a_{n}a_{n-1}...a_{0}}\vdots x$
vì (x,2)=(x,5)=1 nên $\exists t:10^{t}\equiv 1$ (mod x).Khi đó
$\overline{a_{n}a_{n-1}...a_{0}}\equiv \overline{a_{n}...a_{tl}}+\overline{a_{tl-1}...a_{l(t-1)}}+...+\overline{a_{i}...a_{0}}$ (mod x) (i$\leq t$)
và
$\overline{a_{0}a_{1}...a_{n}}\equiv \overline{a_{0}...a_{n-mt}}+...+\overline{a_{n-i}...a_{n}}$ (mod x)
Theo bài ra
$\overline{a_{0}a_{1}...a_{n}}\vdots x\Leftrightarrow \overline{a_{n}a_{n-1}...a_{0}}\vdots x$
Từ đó suy ra
i=1 và t=2. (Tại sao?)
Suy ra $100\equiv 1$ (mod x) (giải thích?)
Hay $x\in {3,9,11,33,99}$.
thử lại ta thấy thoả mãn.
vậy $x\in {1,3,9,11,33,99}$ là các giá trị cần tìm
_____________________________
Bài làm vắn tắt, suy luận không rõ ràng
Điểm bài làm $d=7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-02-2013 - 10:15
Chấm điểm!

[Math Is Love]

Đề bài:Tìm các số tự nhiên $x$ thoả mãn: nếu $1$ số tự nhiên chia hết cho số $x$ thì số được tạo bởi các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại cũng chia hết cho $x$.
Đề của
Joker9999

Lại một lần nữa không làm được nên đành làm một ít cho đỡ bị trừ điểm! ((((
Dễ thấy $1$ là số thỏa mãn.
Đặt $S_A$ là tổng các chữ số của số tự nhiên $A$. Đặt $A'$ là số tự nhiên được lập bởi các chữ số của $A$ viết theo thứ tự ngược lại,
Ta có các công thức quen thuộc:
$3|A\Leftrightarrow 3|S_A$
$9|A\Leftrightarrow 9|S_A$
Vì $S_A=S_{A'}$ nên $x=3;9$ thỏa mãn.
Ta có bổ đề quen thuộc: Một số tự nhiên chia hết cho $11$ khi và chỉ khi tổng các chữ số ở vị trí chẵn-tổng các số ở vị trí lẻ chia hết cho $11$
Mặt khác,dễ thấy tổng các chữ số ở vị trí chẵn-tổng các chữ số ở vị trí lẻ của $A'$=tổng các chữ số ở vị trí lẻ-tổng các chữ số ở vị trí chẵn của $A$.
Vậy nên $11|A\Leftrightarrow 11|A'$
Vậy $x=11$ thỏa mãn.
Vậy ta đã có các giá trị của $x$ là $1;3;9;11;33;99$.
Ta chứng minh rằng mọi $x\notin \left \{ 1;3;9;11;33;99 \right \}$ đều không thỏa mãn.
Nhưng điều này hiện tại em chưa chứng minh được! ((((
___________________________________
Bài làm đạt một nửa yêu cầu!
Điểm bài: $d=5$

S = 3+3*5 = 18

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-02-2013 - 19:55
Chấm điểm!

[WhjteShadow]

Nộp muộn quá. Nhưng còn đỡ hơn âm điểm :'P ~ Cơ mà bài này số học chứ nhỷ @@~
Giả sử $x$ có $m$ chữ số.
Xét các số nguyên liên tiếp từ $10^{m}+1$ đến $2.10^m-1$ ta có $10^{m}-1$ số, nhưng do $10^{m}\leq x< 10^{m+1}-1$ nên $10^{m}-1$ này ba0 gồm 1 hệ thăng dư đầy đủ modulo $x$.
(muốn là HTD đầy đủ thì phải từ $10^m$ đến $2.10^m-1$ chứ!)
Suy ra sẽ có 1 số chia hết ch0 $x$, ta gọi số đó là $\overline{1x_1x_2...x_{m}}$. Từ đó có $\overline{x_{m}...x_2x_11}\vdots x$.
Vậy nên $x \not \vdots 2, x\not \vdots 5$, ta có $(x;10)=1$.
Xét các số nguyên liên tiếp từ $50.10^{m}+1$ đến $51.10^{m}-1$,
(muốn là HTD đầy đủ thì phải từ $50.10^m$ đến $51.10^m-1$ chứ!)
dãy này lại gồm $10^{m}-1$ số, lý luận như trên ta lại có 1 số chia hết ch0 $x$, đặt số đó là $\overline{50y_1y_2...y_{m}}$, ta có $\overline{y_{m}....y_2y_105}\vdots x$
$\Rightarrow \overline{y_{m}....y_2y_105}.10^{m+1}\vdots x$, nhưng do $\overline{50y_1y_2...y_{m}}\vdots x$
Suy ra $\overline{y_{m}...y_2y_1100y_1y_2...y_{m}}\vdots x\Rightarrow \overline{y_{m}...y_2y_1001y_1y_2...y_{m}}\vdots x$.
Vậy $99 \vdots x$
$\Rightarrow x\in \{1,3,9,11,33,99\}$
$\bullet$ Nếu $x\in \{1,3,9\}$ thì kết quả nhiên nhiên đúng do tổng các chữ số của 1 số tự nhiên và số viết ngược lại là như nhau.
$\bullet$ Nếu $x=11$ thì 1 số tự nhiên chia hết ch0 11 có tổng chữ số hàng chẵn trừ tổng chữ số hàng lẻ chia hết ch0 11. Khi viết ngược lại ta cũng có điều đó !
Và do $(3;11)=1,(9;11)=1$ nên các số 33, 99 cũng thỏa mãn.
Vậy tóm lại $\boxed{x\in \{1;3;9;11;33;99\}}$
_____________________________________
Bài làm rất tốt, lập luận rõ ràng
Điểm bài $d=10$

S = 1 + 3*10 = 31

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-02-2013 - 19:57
Chấm điểm!

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc. Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[hxthanh]

Đáp án của Joker9999

Bài này dùng nguyên lí Dirichle:
Gọi các số như vậy là $A=a_1a_2..a_n$ và số viết theo thứ tự ngược lại là $A'=a_na_{n-1}..a_1$
Giả sử số $x$ có $m$ chữ số: $10^{m-1}\leq x<10^m$
Xét $10^m-1$ số liên tiếp từ $10^m+1$ đến $2.10^m-1$ thì theo Dirichle có ít nhất 1 số chia hết cho $x$. Gọi số đó là $A=1a_1..a_m$ và có $A'=a_ma_{m-1}..a_11$ từ đấy suy ra $(x,10)=1$
Xét $10^m-1$ số liên tiếp từ $50.10^m+1$ đến $51.10^m-1$ thì theo nguyên lý Dirichle tồn tại $1$ số chia hết cho $x$, gọi là $B=50b_1..b_m\Rightarrow B'=b_m..b_150$
Từ đây dễ có số $M=b_m..b_1100b_1..b_m$ sẽ chia hết cho $x$ suy ra $M'=b_m..b_1001b_1..b_m$ cũng chia hết cho $x$
Suy ra $x|M-M'\Rightarrow x|99$.
Thử lại tất cả các ước của $99$ đều thoả mãn
Kết luận: ${1,9,11,99,3,33,}$

________________________________________
P/s: Hình như các toán thủ thường lấy đề bài trong sách ra nộp hay sao ấy! Việc sáng tạo ra một bài toán có ý nghĩa và lợi ích hơn rất nhiều đấy, sao các em không thử xem!

[davildark]

Mình thử thì hình như các số 101 , 1001 , 10101 vẫn thoả điều kiện cua số x

[hxthanh]

Mình thử thì hình như các số 101 , 1001 , 10101 vẫn thoả điều kiện cua số x

Em thử bằng "cảm giác" thì hoàn toàn sai lầm!
Có thể nêu phản thí dụ như:
$101\times 109=11009$
$1001\times 1009=1010009$
$10101\times 10009=101100909$

v.v...

[hxthanh]

MS, MHS, MO đã chấm điểm bài làm xong!
Thầy Thế vào tổng hợp điểm nhé!

[E. Galois]

Điểm ra đề: 4*46 +3*15+30 = 259