CMR:
$2. \forall n: 10^n+18n-28\vdots 27$
Điều kiện chắc là $n\in \mathbb{N}$ nhỉ
Bổ đề: Một số và tổng các chữ số của số đó có cùng số dư khi cho $3.$
Chứng minh: Gọi số đó là $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$
Khi đó, tổng các chữ số của $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ là $a_1+a_2+a_3+...+a_n$
Ta có:
$\overline{a_1a_2a_3...a_n}-a_1-a_2-a_3-...-a_n$
$=10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+...+10a_{n-1}+a_n-a_1-a_2-...-a_{n-1}-a_n$
$=\underbrace {99...9}_{\text{n-1 chữ số 9}}a_1+\underbrace {99...9}_{\text{n-2 chữ số 9}}a_2+...+9a_{n-1}$ $\vdots$ $3$
Do đó $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ và $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ có cùng số dư khi chia cho $3.$
_____________________
Quay lại bài toán.
Ta có:
$10^n+18n-28$
$=\underbrace {99...9}_{n}+1+27n-9n-28$
$=\underbrace {99...9}_{n}-9n+27n-27$
$=9(\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n)+27(n-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Ta có: tổng các chữ số của $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}$ là $n$
Do đó $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}$ và $n$ có cùng số dư khi chia cho $3.$
$\Rightarrow$ $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n$ $\vdots$ $3$
$\Rightarrow$ $9(\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n)$ $\vdots$ $27\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ suy ra $10^n+18n-28$ $\vdots$ $27$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{N}$
CMR:
$5. D=n(n^2+1)(n^2+4) \vdots 5 \forall n \epsilon Z$
Làm nhiều cách nha các bạn.
Cách khác nha
Ta có:
$D=n(n^2+1)(n^2+4)$
$=n(n^2-1+2)(n^2-4+8)$
$=[(n-1)n(n+1)+2n][(n^2-4)+8]$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n(n^2-4)+8n(n^2-1)+16n$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n^3-8n+8n^3-8n+16n$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10n^3$ $\vdots$ $5$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{Z}$
CMR:
$2. \forall n\in N: A(k)=10^n+18n-28\vdots 27$
Cách khác
Cách này chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=0$ thì $A(0)=-27$ $\vdots$ $27$
Giả sử đúng với $n=k,$ tức là $A(k)$ $\vdots$ $27$
Ta chứng minh $A(k+1)$ $\vdots$ $27$
Thật vậy, ta có:
$10^{k+1}+18{k+1}-28$
$=10^k.10+18k+18-28+10^k-10^k$
$=10^k.9-9+27+(10^k+18k-28)$
$=9(10^k-1)+27+A(k)$
$=9.\underbrace {99...9}_{\text{k chữ số 9}}+27+A(k)$
Theo giả thiết quy nạp thì $A(k)$ $\vdots$ $27$ nên $A(k+1)$ $\vdots$ $27$
Vậy $10^n+18n-28$ $\vdots$ $27$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{N}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-02-2013 - 20:36