Đến nội dung

Hình ảnh

$ n(n^2+1)(n^2+4) \vdots 5$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Zo Zo

Zo Zo

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
CMR:
$1. (n-1)(n+1)n^2(n^2+1) \vdots 60 \forall n \epsilon N$
$2. \forall n: 10^n+18n-28\vdots 27$
$3. n^8-n^6-n^4+n^2\vdots 1152 \forall n$ lẻ.
$4. n^3+3n^2-n-3\vdots 40 \forall n$ lẻ.
$5. n(n^2+1)(n^2+4) \vdots 5 \forall n \epsilon Z$
Làm nhiều cách nha các bạn. :)
MOD:Tiêu đề của bạn đã đặt sai.Bạn tham khảo cách đặt tiêu đề tại đây.Mình đã sửa giùm bạn lần này.Lần sau bạn đặt cho đúng nhá :D
P/s: Đã sửa đề câu 3. câu 4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zo Zo: 24-02-2013 - 08:39


#2
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

CMR:
$1. A=(n-1)(n+1)n^2(n^2+1) \vdots 60 \forall n \epsilon N$

$\bullet$ Xét $n=2k$ $(k\in \mathbb{N})$
Ta có:
$A=(2k-1)(2k+1)4k^2(4k^2+1)$ $\vdots$ $60$
Xét $n=2k+1$ $(k\in \mathbb{N})$
Ta có:
$A=2k(2k+2)(2k+1)^2[(2k+1)^2+1]=4k(k+1)(2k+1)^2[(2k+1)^2+1]$ $\vdots$ $60$
Do đó $A$ $\vdots$ $4$ $\forall$ $n$ $\in$ $\mathbb{N}\ \ \ \ (1)$

$\bullet$ Vì $n$ là số tự nhiên nên $n$ có dạng $3k$ hoặc $3k\pm 1$ $(k\in \mathbb{N})$
Với $n=3k$ $(k\in \mathbb{N})$ dễ thấy $A$ $\vdots$ $3$
Với $n=3k\pm1$ $(k\in \mathbb{N})$ thì $(n-1)(n+1)$ $\vdots$ $3$ nên $A$ $\vdots$ $3$
Do đó $A$ $\vdots$ $3$ $\forall$ $n$ $\in$ $\mathbb{N}\ \ \ \ (2)$

$\bullet$ Vì $n$ là số tự nhiên nên $n$ có dạng $5k,$ $5k\pm 1$ hoặc $5k\pm 2$ $(k\in \mathbb{N})$
Với $n=5k$ $(k\in \mathbb{N})$ dễ thấy $A$ $\vdots$ $5$
Với $n=5k\pm 1$ $(k\in \mathbb{N})$ thì $(n-1)(n+1)$ $\vdots$ $5$ nên $A$ $\vdots$ $5$
Với $n=5k\pm 2$ $(k\in \mathbb{N}),$ ta có: $n^2+1=(5k\pm 2)^2+1=25k^2\pm 20k+5$ $\vdots$ $5$ nên $A$ $\vdots$ $5$
Do đó $A$ $\vdots$ $5$ $\forall$ $n$ $\in$ $\mathbb{N}\ \ \ \ (3)$

Từ $(1),\ \ (2),$ và $(3)$ ta có: $A$$ \vdots$ $4.3.5=60$ $($Vì $(3;4;5)=1)$

CMR:
$3. B=n^8-n^6-n^3+n^2\vdots 1152 \forall n$ lẻ.

Bài này đề sai rồi bạn. $n=3$ thì $B=5814,$ không chia hết cho $1152.$
Spoiler


$4. C= n^3-3n^2-n-3\vdots 40 \forall n$ lẻ.

Bài này sai nữa bạn. $n=5$ thì $C=42,$ không chia hết cho $40.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-02-2013 - 19:47


#3
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

$5. n(n^2+1)(n^2+4) \vdots 5 \forall n \epsilon Z$
Làm nhiều cách nha các bạn. :)


Đặt $A=n(n^{2}+1)(n^{2}+4)$
  • Với $n=5k,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow A\vdots 5$
  • Với $n=5k+1,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow n^{2}+4=25k^{2}+10k+5\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$
  • Với $n=5k+2,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow n^{2}+1=25k^{2}+20k+5\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$
  • Với $n=5k+3,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow n^{2}+1=25k^{2}+30k+10\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$
  • Với $n=5k+4,k\in \mathbb{Z}\Rightarrow n^{2}+4=25k^{2}+40k+20\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$


#4
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

CMR:
$2. \forall n: 10^n+18n-28\vdots 27$

Điều kiện chắc là $n\in \mathbb{N}$ nhỉ :))
Bổ đề: Một số và tổng các chữ số của số đó có cùng số dư khi cho $3.$
Chứng minh: Gọi số đó là $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$
Khi đó, tổng các chữ số của $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ là $a_1+a_2+a_3+...+a_n$
Ta có:
$\overline{a_1a_2a_3...a_n}-a_1-a_2-a_3-...-a_n$
$=10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+...+10a_{n-1}+a_n-a_1-a_2-...-a_{n-1}-a_n$
$=\underbrace {99...9}_{\text{n-1 chữ số 9}}a_1+\underbrace {99...9}_{\text{n-2 chữ số 9}}a_2+...+9a_{n-1}$ $\vdots$ $3$
Do đó $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ và $a_1+a_2+a_3+...+a_n$ có cùng số dư khi chia cho $3.$
_____________________
Quay lại bài toán.
Ta có:
$10^n+18n-28$
$=\underbrace {99...9}_{n}+1+27n-9n-28$
$=\underbrace {99...9}_{n}-9n+27n-27$
$=9(\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n)+27(n-1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$
Ta có: tổng các chữ số của $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}$ là $n$
Do đó $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}$ và $n$ có cùng số dư khi chia cho $3.$
$\Rightarrow$ $\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n$ $\vdots$ $3$
$\Rightarrow$ $9(\underbrace {11...1}_{\text{n chữ số 1}}-n)$ $\vdots$ $27\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ suy ra $10^n+18n-28$ $\vdots$ $27$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{N}$

CMR:
$5. D=n(n^2+1)(n^2+4) \vdots 5 \forall n \epsilon Z$
Làm nhiều cách nha các bạn. :)

Cách khác nha :))
Ta có:
$D=n(n^2+1)(n^2+4)$
$=n(n^2-1+2)(n^2-4+8)$
$=[(n-1)n(n+1)+2n][(n^2-4)+8]$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n(n^2-4)+8n(n^2-1)+16n$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+2n^3-8n+8n^3-8n+16n$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+10n^3$ $\vdots$ $5$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{Z}$

CMR:
$2. \forall n\in N: A(k)=10^n+18n-28\vdots 27$

Cách khác :) Cách này chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=0$ thì $A(0)=-27$ $\vdots$ $27$
Giả sử đúng với $n=k,$ tức là $A(k)$ $\vdots$ $27$
Ta chứng minh $A(k+1)$ $\vdots$ $27$
Thật vậy, ta có:
$10^{k+1}+18{k+1}-28$
$=10^k.10+18k+18-28+10^k-10^k$
$=10^k.9-9+27+(10^k+18k-28)$
$=9(10^k-1)+27+A(k)$
$=9.\underbrace {99...9}_{\text{k chữ số 9}}+27+A(k)$
Theo giả thiết quy nạp thì $A(k)$ $\vdots$ $27$ nên $A(k+1)$ $\vdots$ $27$
Vậy $10^n+18n-28$ $\vdots$ $27$ $\forall$ $n$ $\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 22-02-2013 - 20:36


#5
Zo Zo

Zo Zo

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

CMR:
$1. A= (n-1)(n+1)n^2(n^2+1) \vdots 60 \forall n \epsilon N$

$A=(n^2-1)n^2(n^2+1)\vdots 3$ vì $(n^2-1)\vdots 3$
$A=(n^4-1)n^2\vdots 5$
$A=n(n^5-n)\vdots 5$ (Fermat nhỏ)
....=>..
P/s: Không biết mình làm thế này có đúng ko nhỉ? Các bạn xem giùm mình với ạ :wacko:

#6
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

$3. A=n^8-n^6-n^4+n^2\vdots 1152 \forall n$ lẻ.

Ta có:
$A=n^8-n^6-n^4+n^2$
$\Leftrightarrow A=n^2(n-1)(n+1)(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Vì $n$ lẻ nên $n=2k+1$ $(k\in \mathbb{Z})$
Do đó:
$A=(2k+1)^2.2k.(2k+2).2k.(2k+2).(4k^2+4k+2)$
$\Leftrightarrow A=(2k+1)^2.2^5.k(k+1).k(k+1)$
Vì $k(k+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)$ $\vdots$ $2$
Từ đó ta có: $A$ $\vdots$ $2^7$

Mặt khác, ta có: $A=n^2(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)$
Vì $n(n-1)(n+1)$ là tích của ba số nguyên liên tiếp nên $n(n-1)(n+1)$ $\vdots$ $3$
$\Rightarrow n^2(n-1)^2(n+1)^2$ $\vdots$ $9$

Như vậy $A$ $\vdots$ $2^7;$ $A$ $\vdots$ $9$
Mà $(2^7;9)=1$ nên $A$ $\vdots$ $2^7.9=1152$


CMR:
$4. B= n^3+3n^2-n-3\vdots 40 \forall n$ lẻ.

Bài này đề vẫn sai mà bạn, mình nghĩ là $B= n^3+3n^2-n-3\vdots 48$ mới đúng. :)
Nếu vậy, giải như sau:
Ta có:
$B= n^3+3n^2-n-3$
$\Leftrightarrow B=(n-1)(n+1)(n+3)$
Vì $n$ lẻ nên $n=2k+1$ $(k\in \mathbb{Z})$
Do đó $B=2k(2k+2)(2k+4)=2^3.k(k+1)(k+2)$
Vì $k(k+1)(k+2)$ là tích của ba số nguyên liên tiếp nên $k(k+1)(k+2)$ $\vdots$ $2$ và $k(k+1)(k+2)$ $\vdots$ $3$
Mà $(2;3)=1$ nên $k(k+1)(k+2)$ $\vdots$ $2.3=6$
Vậy $B$ $\vdots$ $2^3.6=48$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 24-02-2013 - 09:45


#7
viethoang2011

viethoang2011

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

cau 3 sai de la cai chac






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh