Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$abc(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\leq 64\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 quanrrom97

quanrrom97

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đã gửi 23-02-2013 - 10:34

bài 1: cho a,b ko âm thoả đk $a+b\geq 5$ . cmr:
1) $a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) $a^{2}b^{3}\leq 108$
bài 2: cho a,b,c ko âm thoả đk $a+b^{2}+c^{3}= 11$ . cmr:
1)$ab^{2}c^{3}\leq \frac{1331}{27}$
2)$abc\leq 6\sqrt[6]{108}$
bài 3: cmr:
1) với a,b thuộc [0:1] thì $(1-a)(1-b)(a+b)\leq \frac{8}{27}$
2) với a thuộc [-2;2], b thuộc [1/3:3], c thuộc [0:4] thì $(2-a)(3-b)(4-c)(2a+3b+4c+3)\leq \frac{512}{3}$
bài 4: cho 3 số thực dương x,y,z. cmr:
$(xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\geq x+y+z+6$
bài 5: cho $x\in \mathbb{R^{+}}$ . cmr:
1) $x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1\geq 0$
2) $x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2\geq 0$
bài 6: cmr:
1) với a>1 thì $a+\frac{27}{2(a-1)(a+1)^{3}}\geq \frac{5}{2}$
2) với a,b,c>0 thoả a>b, a>c thì $2a+\frac{1}{(a-b)(a-c)(b+c)}\geq 4$
bài 7: cho 3 số ko âm a,b,c. cmr:
1) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)(b+c)(c+a)\leq 8\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
2) $abc(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\leq 64\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
_____________________________
@Joker: Chú ý tiêu đề bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 23-02-2013 - 18:00


#2 Atu

Atu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM

Đã gửi 25-02-2013 - 16:55

bài 1: cho a,b ko âm thoả đk $a+b\geq 5$ . cmr:
1) $a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) $a^{2}b^{3}\leq 108$

Bài 1:
1) Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 3 số ta có:
$\frac{a^{2}b}{4}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot b\leq \frac{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)^{3}}{27}=\frac{125}{27}\Rightarrow a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) Tương tự câu 1 ( Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 4 số đó)

bài 2: cho a,b,c ko âm thoả đk $a+b^{2}+c^{3}= 11$ . cmr:
1)$ab^{2}c^{3}\leq \frac{1331}{27}$
2)$abc\leq 6\sqrt[6]{108}$

Bài 2:
1) Cũng áp dụng bđt $AM-GM$ cho 3 số ta có:
$ab^{2}c^{3}=\frac{(a+b^{2}+c^{3})^{3}}{27}= \frac{11^{3}}{27}= \frac{1331}{27}$
2) Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 11 số ta có:
$11=6\cdot \frac{a}{6}+3\cdot \frac{b^{2}}{3}+2\cdot \frac{c^{3}}{2}\geq 11\sqrt[11]{\frac{(abc)^{6}}{6^{6}\cdot 3^{3}\cdot 2^{2}}}$
Từ đây suy ra $đpcm$

bài 3: cmr:
1) với a,b thuộc [0:1] thì $(1-a)(1-b)(a+b)\leq \frac{8}{27}$
2) với a thuộc [-2;2], b thuộ
c [1/3:3], c thuộc [0:4] thì $(2-a)(3-b)(4-c)(2a+3b+4c+3)\leq \frac{512}{3}$

Bài 3:
1) Áp dụng bđt $AM-GM$ như 2 bài trên
2) :D Cái này từ từ coi lại

bài 4: cho 3 số thực dương x,y,z. cmr:
$(xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\geq x+y+z+6$

Ta có:
$\sum xy+\sum \frac{y}{x}\geq 2\sum y$ $(1)$
Lại có:
$\sum xy+\sum \frac{z}{y}+\sum \frac{1}{z}+\sum \frac{1}{x}\geq 4\cdot 3=12$ $(2)$
Từ $(1)$ Và $(2)$ suy ra:
$2\sum xy+2\sum \frac{1}{x}+2\sum \frac{x}{z}\geq 2\sum a+12$
$\Rightarrow (xyz+1)(\sum \frac{1}{x})+\sum \frac{x}{z}\geq \sum a+6$

bài 5: cho $x\in \mathbb{R^{+}}$ . cmr:
1) $x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1\geq 0$
2) $x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2\geq 0$


Bài 5:
1) Phân tích đa thức thành nhân tử, cụ thể như sau:
$x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1=(x-1)(x^{4}+2x^{3}-x^{2}-x-1)=(x-1)^{2}(x^{3}+3x^{2}+2x+1)\geq 0$
2) Cũng như câu 1:
$x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2=(x-1)^{2}(x^{5}+3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+4x+2)\geq 0$

#3 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 03-03-2013 - 20:12

bài 7: cho 3 số ko âm a,b,c. cmr:
1) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)(b+c)(c+a)\leq 8\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
2) $abc(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\leq 64\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$

1) BĐT này sai, một cái bậc 6 một cái bậc 9 :|. BĐT đúng phải là:
$$(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\le 24(\dfrac{a+b+c}{3})^6$$

2) $$VT\le \dfrac{(a+b+c)^3}{27}.\dfrac{(2a+2b+2c)^6}{27^2}=VP$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 03-03-2013 - 20:12

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh