Chủ đề này có 2 trả lời

[quanrrom97]

bài 1: cho a,b ko âm thoả đk $a+b\geq 5$ . cmr:
1) $a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) $a^{2}b^{3}\leq 108$
bài 2: cho a,b,c ko âm thoả đk $a+b^{2}+c^{3}= 11$ . cmr:
1)$ab^{2}c^{3}\leq \frac{1331}{27}$
2)$abc\leq 6\sqrt[6]{108}$
bài 3: cmr:
1) với a,b thuộc [0:1] thì $(1-a)(1-b)(a+b)\leq \frac{8}{27}$
2) với a thuộc [-2;2], b thuộc [1/3:3], c thuộc [0:4] thì $(2-a)(3-b)(4-c)(2a+3b+4c+3)\leq \frac{512}{3}$
bài 4: cho 3 số thực dương x,y,z. cmr:
$(xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\geq x+y+z+6$
bài 5: cho $x\in \mathbb{R^{+}}$ . cmr:
1) $x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1\geq 0$
2) $x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2\geq 0$
bài 6: cmr:
1) với a>1 thì $a+\frac{27}{2(a-1)(a+1)^{3}}\geq \frac{5}{2}$
2) với a,b,c>0 thoả a>b, a>c thì $2a+\frac{1}{(a-b)(a-c)(b+c)}\geq 4$
bài 7: cho 3 số ko âm a,b,c. cmr:
1) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)(b+c)(c+a)\leq 8\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
2) $abc(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\leq 64\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
_____________________________
@Joker: Chú ý tiêu đề bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 23-02-2013 - 18:00

[Atu]

bài 1: cho a,b ko âm thoả đk $a+b\geq 5$ . cmr:
1) $a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) $a^{2}b^{3}\leq 108$

Bài 1:
1) Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 3 số ta có:
$\frac{a^{2}b}{4}=\frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot b\leq \frac{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+b)^{3}}{27}=\frac{125}{27}\Rightarrow a^{2}b\leq \frac{500}{27}$
2) Tương tự câu 1 ( Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 4 số đó)

bài 2: cho a,b,c ko âm thoả đk $a+b^{2}+c^{3}= 11$ . cmr:
1)$ab^{2}c^{3}\leq \frac{1331}{27}$
2)$abc\leq 6\sqrt[6]{108}$

Bài 2:
1) Cũng áp dụng bđt $AM-GM$ cho 3 số ta có:
$ab^{2}c^{3}=\frac{(a+b^{2}+c^{3})^{3}}{27}= \frac{11^{3}}{27}= \frac{1331}{27}$
2) Áp dụng bđt $AM-GM$ cho 11 số ta có:
$11=6\cdot \frac{a}{6}+3\cdot \frac{b^{2}}{3}+2\cdot \frac{c^{3}}{2}\geq 11\sqrt[11]{\frac{(abc)^{6}}{6^{6}\cdot 3^{3}\cdot 2^{2}}}$
Từ đây suy ra $đpcm$

bài 3: cmr:
1) với a,b thuộc [0:1] thì $(1-a)(1-b)(a+b)\leq \frac{8}{27}$
2) với a thuộc [-2;2], b thuộc [1/3:3], c thuộc [0:4] thì $(2-a)(3-b)(4-c)(2a+3b+4c+3)\leq \frac{512}{3}$

Bài 3:
1) Áp dụng bđt $AM-GM$ như 2 bài trên
2) Cái này từ từ coi lại

bài 4: cho 3 số thực dương x,y,z. cmr:
$(xyz+1)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\geq x+y+z+6$

Ta có:
$\sum xy+\sum \frac{y}{x}\geq 2\sum y$ $(1)$
Lại có:
$\sum xy+\sum \frac{z}{y}+\sum \frac{1}{z}+\sum \frac{1}{x}\geq 4\cdot 3=12$ $(2)$
Từ $(1)$ Và $(2)$ suy ra:
$2\sum xy+2\sum \frac{1}{x}+2\sum \frac{x}{z}\geq 2\sum a+12$
$\Rightarrow (xyz+1)(\sum \frac{1}{x})+\sum \frac{x}{z}\geq \sum a+6$

bài 5: cho $x\in \mathbb{R^{+}}$ . cmr:
1) $x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1\geq 0$
2) $x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2\geq 0$

Bài 5:
1) Phân tích đa thức thành nhân tử, cụ thể như sau:
$x^{5}+x^{4}-3x^{3}+1=(x-1)(x^{4}+2x^{3}-x^{2}-x-1)=(x-1)^{2}(x^{3}+3x^{2}+2x+1)\geq 0$
2) Cũng như câu 1:
$x^{7}+x^{6}+3x^{5}-7x^{4}+2=(x-1)^{2}(x^{5}+3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+4x+2)\geq 0$

[minhtuyb]

bài 7: cho 3 số ko âm a,b,c. cmr:
1) $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b)(b+c)(c+a)\leq 8\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$
2) $abc(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}\leq 64\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{9}$

1) BĐT này sai, một cái bậc 6 một cái bậc 9 :|. BĐT đúng phải là:
$$(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\le 24(\dfrac{a+b+c}{3})^6$$

2) $$VT\le \dfrac{(a+b+c)^3}{27}.\dfrac{(2a+2b+2c)^6}{27^2}=VP$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 03-03-2013 - 20:12