Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển 10 Trần Đại Nghĩa


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 23-02-2013 - 11:40

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$
Câu 2 (4đ): Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y& \\ 3x^{2}+4y^{2}-5(x+y)+14=5\sqrt{{x^{2}y^{2}+4}} & \end{matrix}\right.$
Câu 3 (3đ): Cho m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^{2}+n^{2}$ và $m^{3}+n^{3}$
Cây 4 (3đ): Cho a,b,c>0 thỏa $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq 3(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$
Câu 5 (3đ): Cho tam giác ABC. Chứng minh:
$cos^{2}\frac{A-B}{2}+cos^{2}\frac{B-C}{2}+cos^{2}\frac{C-A}{2}\geq 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Câu 6 (3đ): CHo tam giác ABC. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các cặp điểm $(M,N);(P,Q);(S,T)$ biết rằng M nằm giữa B và N, P nằm giữa C và Q, S nằm giau74 A và T. Gọi K,H,L lần lượt là giao điểm của SN và QM, QM và TP, TP và SN. Chứng minh AK,BH,CL đồng qui.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-03-2013 - 21:57


#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-02-2013 - 12:37

Câu 5 (3đ): Cho tam giác ABC. Chứng minh:
$cos^{2}\frac{A-B}{2}+cos^{2}\frac{B-C}{2}+cos^{2}\frac{C-A}{2}\geq 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau : $cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2} \geq 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$\Leftrightarrow \prod cos\frac{A-B}{2}\prod sin\frac{A+B}{2} \geq 8\prod sin\frac{A}{2}\prod sin\frac{A+B}{2}$
$\Leftrightarrow \prod \frac{1}{2}(sinA+sinB)\geq 8\prod sin\frac{A}{2}\prod sin\frac{A+B}{2}$
$\Leftrightarrow \prod (sinA+sinB)\geq 8\prod sinA$
Nhưnh bđt trên luôn đúng do $(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz$
Áp dụng bổ đề ta có $\sum cos^2\frac{A-B}{2} \geq 3\sqrt[3]{(\prod cos\frac{A-B}{2})^2}\geq 3\sqrt[3]{(8\prod sin\frac{A}{2})^2}=P$
Ta sẽ chứng minh $P \geq 24\prod sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow \prod sin\frac{A}{2}\leq \frac{1}{8}$
Nhưng ta luôn có $\prod sin\frac{A}{2}\leq (\frac{\sum sin\frac{A}{2}}{3})^3\leq (sin\frac{\pi}{6})^3=\frac{1}{8}$
Vậy ta có đpcm ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-02-2013 - 12:52

Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$

ĐK : $x\in \left [ -1;1 \right ]$ (1)
Bình phương 2 vế của phương trình ta được $2+2\sqrt{1-x^2}=4+2x^4-4\sqrt{2}x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=(1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Do (1) nên ta có 1 $\geq 1-x^2 \geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{1-x^2} \geq 1-x^2\\x^2+1-2\sqrt{2}< 0

\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \geq (1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Vậy nghiệm của phương trình là đk xảy ra dấu = của bđt, hay $x=0$ là nghiêm duy nhất củphuuwowng trình đã cho ?
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 23-02-2013 - 13:26

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 2 (4đ): Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y& \\ 3x^{2}+4y^{2}-5(x+y)+14=5\sqrt{{x^{2}y^{2}+4}} & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bdt Cauchy-Chwarz ta có

$\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\ge \left | \frac{x+y}{2} \right |\ge \frac{x+y}{2}$

và ta có

$\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge \frac{x+y}{2}$


$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge x+y$


Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x=y>0$


thay vào pt phía dưới ta có

$7x^{2}-10x+14=5\sqrt{x^{4}+4}$ (1)


bình phương cả 2 vế lên


$(1) \Leftrightarrow 6x^{4}-35x^{3}+74x^{2}-70x+24=0$ (*)


dễ thấy $x=0$ không phải là 1 nghiệm của pt (*)
Do đó

$6x^{4}-35x^{3}+74x^{2}-70x+24=0\Leftrightarrow 6x^{2}+\frac{24}{x^{2}}-35x-\frac{70}{x}-45=0$ (**)


Đặt

$x+\frac{2}{x}=t$ ($t\ge 2\sqrt{2}$


(**) trở thành


$6t^{2}-24-25t+24=0$


=>...

___________________________________
P/S: câu 4 đúng đề không bạn? :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 23-02-2013 - 13:51


#5 VNSTaipro

VNSTaipro

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hoàng Hoa Thám, Đà Nẵng

Đã gửi 23-02-2013 - 14:04

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$

ĐK : $x\in \left [ -1;1 \right ]$ (1)
Bình phương 2 vế của phương trình ta được $2+2\sqrt{1-x^2}=4+2x^4-4\sqrt{2}x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=(1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Do (1) nên ta có 1 $\geq 1-x^2 \geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{1-x^2} \geq 1-x^2\\x^2+1-2\sqrt{2}< 0
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \geq (1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Vậy nghiệm của phương trình là đk xảy ra dấu = của bđt, hay $x=0$ là nghiêm duy nhất củphuuwowng trình đã cho ?

Đặt $x=cos2\alpha $
$\sqrt{2sin^{2}\alpha }+\sqrt{2cos^{2}\alpha}=2-\sqrt{2}cos^{2}2\alpha $
Đến đây thì ok rồi

Hình đã gửi


#6 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 02-03-2013 - 19:15

P/S: câu 4 đúng đề không bạn? :(

Tất nhiên là đúng rồi.
$\Leftrightarrow A= \frac{a-3}{b^{2}}+\frac{b-3}{c^{2}}+\frac{c-3}{a^{2}}\geq 0$
Giả sử a max. Xét $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow A\geq \frac{a+b+c-9}{a^{2}}$
Mà $abc\leq 27\Rightarrow a+b+c\geq 9$

#7 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 02-03-2013 - 19:22

Tất nhiên là đúng rồi.
$\Leftrightarrow A= \frac{a-3}{b^{2}}+\frac{b-3}{c^{2}}+\frac{c-3}{a^{2}}\geq 0$
Giả sử a max. Xét $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow A\geq \frac{a+b+c-9}{a^{2}}$
Mà $abc\leq 27\Rightarrow a+b+c\geq 9$

Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

#8 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 03-03-2013 - 21:54

Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

a=b=c=3
P/s: Ghi nhầm: ab+bc+ca=abc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-03-2013 - 21:57


#9 thedragonknight

thedragonknight

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Hưng Đạo

Đã gửi 31-03-2013 - 21:21

Chém câu 3 thử xem sao :D

Đặt $(m^3+n^3;m^2+n^2)=d$

Suy ra$m^2(m+1)+n^2(n+1)\vdots d$

Mặt khác ta lại có $(m^2+n^2)(n+1)\vdots d$

Suy ra $m^2(m-n)\vdots d$

Mà $(m^2;n-m)=1$

Xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1 

 

 xảy ra 2 trường hợp:

$m^2\vdots d$ hoặc $n-m\vdots d$ 

Cả 2 trường hợp đều dẫn ra $1\vdots d$

Do đó $d=1$

Khả năng 2: $m^2\vdots u$ và $n-m\vdots v$ với $u.v=m$ và $(u;v)=1$

Dễ dàng c/m đc $u=1$

Khi đó $m^2(n-m)\vdots v$. Ta ko nói đến nó lại xảy ra khả năng 1. Vì vậy nó xảy ra khả năng 2. Quá trình tiếp tục tới vô hạn (vô lí). Cho nên đến 1 lúc nó phải xảy ra khả năng 1. 

Do đó $d=1$

P/s: mình có 1 lỗi sai mà chẳng ai phát hiện ra may sửa kịp :)) 

 


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 03-04-2013 - 21:11


#10 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 22-04-2013 - 00:34

Bài $6$ khá đơn giản

Ai úp hộ mình hình nha

Gọi $K_1,K_2$ lần lượt là hình chiếu của $K$ lên $AB$ và $AC$

có $\frac{sin\angle BAK}{sin\angle CAK}=\frac{KK_1}{KK_2}$

Lại có $\Delta KSM\sim \Delta KQM$

$\Rightarrow \frac{KS}{KM}=\frac{KQ}{KN}$

Lại có $\frac{NT}{MP}=\frac{2R sin\angle KSK_1}{2R sin\angle KQK_2}$

$\Rightarrow \frac{sin \angle BAL}{sin \angle CAK}=\frac{MS}{NQ}.\frac{NT}{MP}$

Tương tự ĐPCM :icon10:


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#11 Restart

Restart

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 29-12-2013 - 21:13

$\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge \frac{x+y}{2}$

Sao có cái này vậy bạn? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Restart: 29-12-2013 - 21:14


#12 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 29-12-2013 - 21:55

Sao có cái này vậy bạn? 

Bình phương 2 vế và biến đổi tương đương sẽ đưa về $(a-b)^2 \ge 0$
 



#13 nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 366 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phan Thiết, Bình Thuận.
  • Sở thích:mê Toán sơ cấp (ĐT: 01234533861)

Đã gửi 10-01-2014 - 15:49

Chém câu 3 thử xem sao :D

Đặt $(m^3+n^3;m^2+n^2)=d$

Suy ra$m^2(m+1)+n^2(n+1)\vdots d$

Mặt khác ta lại có $(m^2+n^2)(n+1)\vdots d$

Suy ra $m^2(m-n)\vdots d$

Mà $(m^2;n-m)=1$

Xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1 

 

 xảy ra 2 trường hợp:

$m^2\vdots d$ hoặc $n-m\vdots d$ 

Cả 2 trường hợp đều dẫn ra $1\vdots d$

Do đó $d=1$

Khả năng 2: $m^2\vdots u$ và $n-m\vdots v$ với $u.v=m$ và $(u;v)=1$

Dễ dàng c/m đc $u=1$

Khi đó $m^2(n-m)\vdots v$. Ta ko nói đến nó lại xảy ra khả năng 1. Vì vậy nó xảy ra khả năng 2. Quá trình tiếp tục tới vô hạn (vô lí). Cho nên đến 1 lúc nó phải xảy ra khả năng 1. 

Do đó $d=1$

P/s: mình có 1 lỗi sai mà chẳng ai phát hiện ra may sửa kịp :)) 

 

 

 

Ta có thể thay $d$ bởi ước của nguyên tố của $d$ giả sử là $d_1$. Ki đó ta đi đến kết luận: $m \vdots d_1$ => $n \vdots d_1$ => $(m^2,m-n)=d_1$ => vô lý. Suy ra: $d=1$.


$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh