Chủ đề này có 12 trả lời

[henry0905]

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$
Câu 2 (4đ): Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y& \\ 3x^{2}+4y^{2}-5(x+y)+14=5\sqrt{{x^{2}y^{2}+4}} & \end{matrix}\right.$
Câu 3 (3đ): Cho m, n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, m là số chẵn. Tìm ước số chung lớn nhất của $m^{2}+n^{2}$ và $m^{3}+n^{3}$
Cây 4 (3đ): Cho a,b,c>0 thỏa $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh $\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}\geq 3(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$
Câu 5 (3đ): Cho tam giác ABC. Chứng minh:
$cos^{2}\frac{A-B}{2}+cos^{2}\frac{B-C}{2}+cos^{2}\frac{C-A}{2}\geq 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Câu 6 (3đ): CHo tam giác ABC. Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các cặp điểm $(M,N);(P,Q);(S,T)$ biết rằng M nằm giữa B và N, P nằm giữa C và Q, S nằm giau74 A và T. Gọi K,H,L lần lượt là giao điểm của SN và QM, QM và TP, TP và SN. Chứng minh AK,BH,CL đồng qui.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-03-2013 - 21:57

[25 minutes]

Câu 5 (3đ): Cho tam giác ABC. Chứng minh:
$cos^{2}\frac{A-B}{2}+cos^{2}\frac{B-C}{2}+cos^{2}\frac{C-A}{2}\geq 24sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau : $cos\frac{A-B}{2}cos\frac{B-C}{2}cos\frac{C-A}{2} \geq 8sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
$\Leftrightarrow \prod cos\frac{A-B}{2}\prod sin\frac{A+B}{2} \geq 8\prod sin\frac{A}{2}\prod sin\frac{A+B}{2}$
$\Leftrightarrow \prod \frac{1}{2}(sinA+sinB)\geq 8\prod sin\frac{A}{2}\prod sin\frac{A+B}{2}$
$\Leftrightarrow \prod (sinA+sinB)\geq 8\prod sinA$
Nhưnh bđt trên luôn đúng do $(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz$
Áp dụng bổ đề ta có $\sum cos^2\frac{A-B}{2} \geq 3\sqrt[3]{(\prod cos\frac{A-B}{2})^2}\geq 3\sqrt[3]{(8\prod sin\frac{A}{2})^2}=P$
Ta sẽ chứng minh $P \geq 24\prod sin\frac{A}{2}\Leftrightarrow \prod sin\frac{A}{2}\leq \frac{1}{8}$
Nhưng ta luôn có $\prod sin\frac{A}{2}\leq (\frac{\sum sin\frac{A}{2}}{3})^3\leq (sin\frac{\pi}{6})^3=\frac{1}{8}$
Vậy ta có đpcm ?

[25 minutes]

Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$

ĐK : $x\in \left [ -1;1 \right ]$ (1)
Bình phương 2 vế của phương trình ta được $2+2\sqrt{1-x^2}=4+2x^4-4\sqrt{2}x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=(1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Do (1) nên ta có 1 $\geq 1-x^2 \geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{1-x^2} \geq 1-x^2\\x^2+1-2\sqrt{2}< 0

\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \geq (1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Vậy nghiệm của phương trình là đk xảy ra dấu = của bđt, hay $x=0$ là nghiêm duy nhất củphuuwowng trình đã cho ?

[Sagittarius912]

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 2 (4đ): Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}=x+y& \\ 3x^{2}+4y^{2}-5(x+y)+14=5\sqrt{{x^{2}y^{2}+4}} & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bdt Cauchy-Chwarz ta có

$\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}\ge \left | \frac{x+y}{2} \right |\ge \frac{x+y}{2}$

và ta có

$\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge \frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}+\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge x+y$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x=y>0$

thay vào pt phía dưới ta có

$7x^{2}-10x+14=5\sqrt{x^{4}+4}$ (1)

bình phương cả 2 vế lên

$(1) \Leftrightarrow 6x^{4}-35x^{3}+74x^{2}-70x+24=0$ (*)

dễ thấy $x=0$ không phải là 1 nghiệm của pt (*)
Do đó

$6x^{4}-35x^{3}+74x^{2}-70x+24=0\Leftrightarrow 6x^{2}+\frac{24}{x^{2}}-35x-\frac{70}{x}-45=0$ (**)

Đặt

$x+\frac{2}{x}=t$ ($t\ge 2\sqrt{2}$

(**) trở thành

$6t^{2}-24-25t+24=0$

=>...

___________________________________
P/S: câu 4 đúng đề không bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 23-02-2013 - 13:51

[VNSTaipro]

Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
Đề thi chọn đội tuyển 10 năm học 2012 - 2013
Môn: Toán - Ngày thứ nhất
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4đ): Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\sqrt{2}x^{2}$

ĐK : $x\in \left [ -1;1 \right ]$ (1)
Bình phương 2 vế của phương trình ta được $2+2\sqrt{1-x^2}=4+2x^4-4\sqrt{2}x^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{1-x^2}=(1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Do (1) nên ta có 1 $\geq 1-x^2 \geq 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\sqrt{1-x^2} \geq 1-x^2\\x^2+1-2\sqrt{2}< 0
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \sqrt{1-x^2} \geq (1-x^2)+x^2(x^2+1-2\sqrt{2})$
Vậy nghiệm của phương trình là đk xảy ra dấu = của bđt, hay $x=0$ là nghiêm duy nhất củphuuwowng trình đã cho ?

Đặt $x=cos2\alpha $
$\sqrt{2sin^{2}\alpha }+\sqrt{2cos^{2}\alpha}=2-\sqrt{2}cos^{2}2\alpha $
Đến đây thì ok rồi

[henry0905]

P/S: câu 4 đúng đề không bạn?

Tất nhiên là đúng rồi.
$\Leftrightarrow A= \frac{a-3}{b^{2}}+\frac{b-3}{c^{2}}+\frac{c-3}{a^{2}}\geq 0$
Giả sử a max. Xét $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow A\geq \frac{a+b+c-9}{a^{2}}$
Mà $abc\leq 27\Rightarrow a+b+c\geq 9$

[Sagittarius912]

Tất nhiên là đúng rồi.
$\Leftrightarrow A= \frac{a-3}{b^{2}}+\frac{b-3}{c^{2}}+\frac{c-3}{a^{2}}\geq 0$
Giả sử a max. Xét $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow A\geq \frac{a+b+c-9}{a^{2}}$
Mà $abc\leq 27\Rightarrow a+b+c\geq 9$

Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

[henry0905]

Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

a=b=c=3
P/s: Ghi nhầm: ab+bc+ca=abc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-03-2013 - 21:57

[thedragonknight]

Chém câu 3 thử xem sao

Đặt $(m^3+n^3;m^2+n^2)=d$

Suy ra$m^2(m+1)+n^2(n+1)\vdots d$

Mặt khác ta lại có $(m^2+n^2)(n+1)\vdots d$

Suy ra $m^2(m-n)\vdots d$

Mà $(m^2;n-m)=1$

Xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1 

 

 xảy ra 2 trường hợp:

$m^2\vdots d$ hoặc $n-m\vdots d$ 

Cả 2 trường hợp đều dẫn ra $1\vdots d$

Do đó $d=1$

Khả năng 2: $m^2\vdots u$ và $n-m\vdots v$ với $u.v=m$ và $(u;v)=1$

Dễ dàng c/m đc $u=1$

Khi đó $m^2(n-m)\vdots v$. Ta ko nói đến nó lại xảy ra khả năng 1. Vì vậy nó xảy ra khả năng 2. Quá trình tiếp tục tới vô hạn (vô lí). Cho nên đến 1 lúc nó phải xảy ra khả năng 1. 

Do đó $d=1$

P/s: mình có 1 lỗi sai mà chẳng ai phát hiện ra may sửa kịp  

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 03-04-2013 - 21:11

[barcavodich]

Bài $6$ khá đơn giản

Ai úp hộ mình hình nha

Gọi $K_1,K_2$ lần lượt là hình chiếu của $K$ lên $AB$ và $AC$

có $\frac{sin\angle BAK}{sin\angle CAK}=\frac{KK_1}{KK_2}$

Lại có $\Delta KSM\sim \Delta KQM$

$\Rightarrow \frac{KS}{KM}=\frac{KQ}{KN}$

Lại có $\frac{NT}{MP}=\frac{2R sin\angle KSK_1}{2R sin\angle KQK_2}$

$\Rightarrow \frac{sin \angle BAL}{sin \angle CAK}=\frac{MS}{NQ}.\frac{NT}{MP}$

Tương tự ĐPCM

[Restart]

$\sqrt{\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{3}}\ge \frac{x+y}{2}$

Sao có cái này vậy bạn? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Restart: 29-12-2013 - 21:14

[Sagittarius912]

Sao có cái này vậy bạn? 

Bình phương 2 vế và biến đổi tương đương sẽ đưa về $(a-b)^2 \ge 0$
 

[nntien]

Chém câu 3 thử xem sao

Đặt $(m^3+n^3;m^2+n^2)=d$

Suy ra$m^2(m+1)+n^2(n+1)\vdots d$

Mặt khác ta lại có $(m^2+n^2)(n+1)\vdots d$

Suy ra $m^2(m-n)\vdots d$

Mà $(m^2;n-m)=1$

Xảy ra 2 khả năng:

Khả năng 1 

 

 xảy ra 2 trường hợp:

$m^2\vdots d$ hoặc $n-m\vdots d$ 

Cả 2 trường hợp đều dẫn ra $1\vdots d$

Do đó $d=1$

Khả năng 2: $m^2\vdots u$ và $n-m\vdots v$ với $u.v=m$ và $(u;v)=1$

Dễ dàng c/m đc $u=1$

Khi đó $m^2(n-m)\vdots v$. Ta ko nói đến nó lại xảy ra khả năng 1. Vì vậy nó xảy ra khả năng 2. Quá trình tiếp tục tới vô hạn (vô lí). Cho nên đến 1 lúc nó phải xảy ra khả năng 1. 

Do đó $d=1$

P/s: mình có 1 lỗi sai mà chẳng ai phát hiện ra may sửa kịp  

 

 

 

Ta có thể thay $d$ bởi ước của nguyên tố của $d$ giả sử là $d_1$. Ki đó ta đi đến kết luận: $m \vdots d_1$ => $n \vdots d_1$ => $(m^2,m-n)=d_1$ => vô lý. Suy ra: $d=1$.