Chủ đề này có 21 trả lời

[HeilHitler]

câu 3) Ta đặt degP = m và deg Q= n thay vào đề bài ta dễ dàng có được m=n.
xét H(x) = P(x)-Q(x) ta sẽ chứng minh H(x) có vô số nghiệm.
Theo đề bài ta có thì : P(1)=Q(1)
=> H(x) hoặc là có hữu hạn nghiệm hoặc là vô số nghiệm.
Giả sử: H(x) có hữu hạn nghiệm
ta gọi x_1,x₂ ,.... x_q là các nghiệm của phương trình H(x)
Không mất tính tổng quát ta giả sử max {x_i} = x_a
thay x_a vao đề ta có P(e^x_a + x_a Q(x_a) +x²_a Q² (x_a) )=Q(e^x_a + x_a P(x_a) +x²_a P² (x_a​) )
=> e^x_a + x_a Q(x_a) +x²_a Q² (x_a) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(x_a)=Q(x_a))
cứ liên tục như vậy => x_a là max là vô lý
=> H(X) không có hữu han nghiệm
=> H(X) có vô số nghiệm=>$P(X)\equiv Q(X)$ (đpcm)

Do lần đầu em tham gia xiin các anh góp ý.

Ý tưởng lời giải của bạn là chính xác rồi, chỉ có điều trình bày chưa rõ ràng lắm nên hơi khó hiểu. Mình xin đươc trình bày lại theo ý tưởng của bạn như sau:
Đặt $H(x)=P(x)-Q(x)$. Thay $x=0$ vào giả thiết ban đầu của bài toán suy ra $H(1)=0$. Như vậy $H(x)$ có ít nhất một nghiệm thực.
Gọi $x_0$ là nghiệm thực của $H(x)$, thay $x=x_0$ và giả thiết ta suy ra $x_1=e^{x_0}+x_0P(x_0)+x_0^2P^2(x_0)$ cũng là nghiệm của $H(x)$. Như vậy ta có thể xây dựng một dãy nghiệm thực của $H(x)$ với $x_0=1$ và $x_{n+1}=e^{x_n}+x_nP(x_n)+x^2_nP^2(x_n)$. Chú ý rằng $e^{x}+xP(x)+x^2P^2(x) \geq e^{x}-\frac{1}{4}>x$ với mọi $x \geq 1$, như vậy có thể thấy dãy $x_n$ tăng ngặt. Suy ra $H(x)$ có vô hạn nghiệm thực, đồng nghĩa với việc $H(x) \equiv 0$. (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 23-03-2013 - 23:51

[LangTu Mua Bui]

Câu 4 Ta sử dụng Larange để giải bài này

Xét $g(x)=\ln{\sin{f(x)}}$

Theo đl Larange ta có 
$g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=\frac{\ln{\sin{f(b)}}-\ln{\sin{f(a)}}}{b-a}$với $g'(c)=f'(c)\cot{f(c)}$(1)

$\frac{1}{a-c}<0<\frac{1}{b-a}<\frac{1}{b-c}$(2) 

Mặt khác $\ln{\sin{f(b)}}-\ln{\sin{f(a)}}<2$ (3)

Từ (1)(2)(3) Ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 05-12-2015 - 01:35