Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên 2013 ĐHSP HCM môn giải tích


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-02-2013 - 13:10

Câu 1: Cho $|q|<1$ và $\lim_{n\to +\infty} \epsilon_n=0$. Giả sử dãy $(a_n)$ không âm và thoả $a_{n+1} \le qa_n +\epsilon_n \;, \forall n \in \mathbb{N}$. Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} a_n =0$

Câu 2: Giả sử hai dãy $(a_n),(b_n)$ thoả các điều kiện sau:

i) $\frac{5}{12} \le a_n+b_n \le \frac{11}{12} $
ii) $a_{n+1}=a_n^2+2b_n(1-a_n-b_n)$
iii) $b_{n+1}=b_n^2+2a_n(1-a_n-b_n)$

Tìm $\lim_{n \to +\infty}a_n $, $ \lim_{n \to +\infty} b_n $

Câu 3: Cho $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực thoả mãn:

$P\left[ e^x+xQ(x)+x^2Q^2(x) \right] =Q \left[ e^x+xP(x)+x^2P^2(x) \right] \;, \forall x \in \mathbb{R} $

Chứng minh $P \equiv Q$

Câu 4: Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a,b)$ và $f'(x) \neq 0 \;, \forall x \in (a,b)$. Chứng minh rằng $\exists c \in (a,b) ;\; \dfrac{2}{a-c}<f'( c ) \cot (f ( c)) < \dfrac{2}{b-c}$

Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho :

$a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số

$$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x $$

Câu 6:

Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh

$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#2 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 23-02-2013 - 18:28

1)với $\xi >0$ thì $\exists N $ sao cho với mọi $n>N$ thì $\xi _{n}<\xi $
với n > N ta có:
$a_{n+1}\leq qa_n+\xi _n\leq ...\leq q^{n-N+1}a_{N}+q^{n-N}\xi _{n-N}+...q\xi _{n-1}+\xi _n\leq q^{n-N+1}a_{N}+\frac{\xi(1-q^{n-N+1}) }{1-q}\rightarrow \frac{\xi }{1-q}$
do $\xi$ bé tùy ý nên ta có điều phải cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 23-02-2013 - 18:28

NGU
Hình đã gửi

#3 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 23-02-2013 - 20:53

Câu 4:

Chứng minh BĐT bên trái:

Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$

Xét: \[g\left( x \right) = ln\left[ {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right] + 2ln\left( {x - a} \right)\]

\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]

Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]

Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]

Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự. :D

#4 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-02-2013 - 21:38

1)với $\xi >0$ thì $\exists N $ sao cho với mọi $n>N$ thì $\xi _{n}<\xi $
với n > N ta có:
$a_{n+1}\leq qa_n+\xi _n\leq ...\leq q^{n-N+1}a_{N}+q^{n-N}\xi _{n-N}+...q\xi _{n-1}+\xi _n\leq q^{n-N+1}a_{N}+\frac{\xi(1-q^{n-N+1}) }{1-q}\rightarrow \frac{\xi }{1-q}$
do $\xi$ bé tùy ý nên ta có điều phải cm


Sai rồi em, $q$ đâu chắc đã không âm đâu.

Dễ chứng minh $a_{n} \le |q|^{k}a_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}|p|^{i}|\epsilon_{n-1-i} |\;, k=1,...,n-1$

$$\forall \epsilon>0, \exists n_0, \forall n \ge n_0, |\epsilon_n|<\epsilon$$

Suy ra $$ \forall n>n_0, a_n \le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\sum_{i=0}^{n-n_0-1} |p|^i| \epsilon_{n-1-i}| $$

$$\le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\epsilon \sum_{i=0}^{n-n_0-1} |p|^i$$

$$\le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\epsilon \dfrac{1-|p|^{n-n_0}}{1-|p|} <|q|^{n-n_0}a_{n_0}+\dfrac{\epsilon}{1-|p|}$$

Do $\lim_{n \to +\infty} |q|^{n-n_0}a_{n_0}=0 $ nên với $n_1$ nào đó đủ lớn, $\forall n>n_1, \; |q|^{n-n_0}a_{n_0}<\epsilon$

Đặt $N=\max\{n_0,n_1\}$ , $\forall n>N, 0 \le a_n < \epsilon(1+\frac{1}{1-|q|})$


Vậy $\lim_{n \to +\infty} a_n=0$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#5 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-02-2013 - 21:55

Câu 4:

Chứng minh BĐT bên trái:

Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$

Xét: \[g\left( x \right) = ln\left[ {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right] + 2ln\left( {x - a} \right)\]

\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]

Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]

Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]

Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự. :D


Lời giải sai bởi có chắc $\sin (f(x))>0 \;, \forall x \in [a;b] $ ?

Xét $g(x)=\sin (f(x)) (x-a)(x-b) $

Dễ thấy $g$ liên tục trên $[a;b]$ và khả vi trên $(a;b)$ đồng thời $g(a)=g(b)=0$, do đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho

$$g'( c)=0$$

$$\Leftrightarrow f'( c)\cos (f( c))(a-c)(b-c)=\sin(f( c))(a+b-2c)$$

Nếu $\cos(f( c))=0 \Rightarrow f'( c) \cot (f( c))=0$ và do đó hiển nhiên có $\frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$

Nếu $\cos (f( c)) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))(a+b-2c) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))\neq 0$

$\Rightarrow f'( c) \cot (f( c)) =\dfrac{1}{a-c}+\dfrac{1}{b-c} \in (\dfrac{1}{a-c}; \dfrac{1}{b-c})$

suy ra $$ \frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 23-02-2013 - 21:57

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#6 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 23-02-2013 - 22:58

Lời giải sai bởi có chắc $\sin (f(x))>0 \;, \forall x \in [a;b] $ ?

Xét $g(x)=\sin (f(x)) (x-a)(x-b) $

Dễ thấy $g$ liên tục trên $[a;b]$ và khả vi trên $(a;b)$ đồng thời $g(a)=g(b)=0$, do đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho

$$g'( c)=0$$

$$\Leftrightarrow f'( c)\cos (f( c))(a-c)(b-c)=\sin(f( c))(a+b-2c)$$

Nếu $\cos(f( c))=0 \Rightarrow f'( c) \cot (f( c))=0$ và do đó hiển nhiên có $\frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$

Nếu $\cos (f( c)) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))(a+b-2c) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))\neq 0$

$\Rightarrow f'( c) \cot (f( c)) =\dfrac{1}{a-c}+\dfrac{1}{b-c} \in (\dfrac{1}{a-c}; \dfrac{1}{b-c})$

suy ra $$ \frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$$


Nếu thay là $\|sin (f(x))|$ thì được chứ đại ca. :D

#7 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-02-2013 - 23:07

Nếu thay là $\|sin (f(x))|$ thì được chứ đại ca. :D


Nếu có $x_0$ sao cho $\sin (f(x_0))=0 $ ? Ý tưởng của em cũng hay nhưng có điểm này là phải chỉnh sửa thôi :D

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#8 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 23-02-2013 - 23:14

Nếu có $x_0$ sao cho $\sin (f(x_0))=0 $ ? Ý tưởng của em cũng hay nhưng có điểm này là phải chỉnh sửa thôi :D


Vâng, để em suy nghĩ và bổ sung. :D

#9 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 24-02-2013 - 12:24

Câu 4:

Chứng minh BĐT bên trái:

Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$

Xét:\[g\left( x \right) = ln\left| {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| + 2ln\left( {x - a} \right)\]

\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]

Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]

Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]

Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự. :D


chỉnh sửa một tý.

Nếu tồn tại $c$ sao cho $sin(f(c))=0$ thì ta có $c$ chính là số cần tìm.

Nếu $sin(f(x))$ khác $0$ với mọi $x\in (0;1]$ thì làm như trên. :D

#10 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 24-02-2013 - 13:49

chỉnh sửa một tý.

Nếu tồn tại $c$ sao cho $sin(f(x))=0$ thì ta có $c$ chính là số cần tìm.

Nếu $sin(f(x))$ khác $0$ với mọi $x\in (0;1]$ thì làm như trên. :D

Mình thấy $sin(f(x))=0$ thì $cot(f(x))$ không xác định mà.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 26-02-2013 - 15:29


#11 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 25-02-2013 - 22:45

Câu 2 mình có ý tưởng chứng minh $lim(a_n-b_n)=0$ và dãy $(a_n+b_n)$ có giới hạn để suy ra $lim a_n=\lim b_n=\dfrac{1}{3}$
Nhưng mình chưa chứng minh được dãy $(a_n+b_n)$ có giới hạn.Có bạn nào giúp phần này không ?

Câu 3 và câu 6 ,có bạn nào giải được chưa ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 26-02-2013 - 15:28


#12 khanhd0408

khanhd0408

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 26-02-2013 - 21:21

câu 3) Ta đặt degP = m và deg Q= n thay vào đề bài ta dễ dàng có được m=n.
xét H(x) = P(x)-Q(x) ta sẽ chứng minh H(x) có vô số nghiệm.
Theo đề bài ta có thì : P(1)=Q(1)
=> H(x) hoặc là có hữu hạn nghiệm hoặc là vô số nghiệm.
Giả sử: H(x) có hữu hạn nghiệm
ta gọi x1,x2 ,.... xq là các nghiệm của phương trình H(x)
Không mất tính tổng quát ta giả sử max {xi} = xa
thay xa vao đề ta có P(exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) )=Q(exa + xa P(xa) +x2a P2 (xa​) )

=> exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(xa)=Q(xa))
cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý
=> H(X) không có hữu han nghiệm
=> H(X) có vô số nghiệm=>$P(X)\equiv Q(X)$ (đpcm)

Do lần đầu em tham gia xiin các anh góp ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhd0408: 26-02-2013 - 21:26


#13 lacduyen

lacduyen

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 28-02-2013 - 07:06

Câu 1:

Nếu như q âm và epsilon_n củng âm (hoặc bằng 0) thì có vấn đề !!

(xin lổi lính mới chưa biết xài Latex !!)

q bằng 0 vẫn tốt như thường :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lacduyen: 28-02-2013 - 07:09


#14 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 28-02-2013 - 11:48

thay xa vao đề ta có P(exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) )=Q(exa + xa P(xa) +x2a P2 (xa​) )
=> exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(xa)=Q(xa))
cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý


Câu "cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý'' khẳng định như vậy là sao hả bạn ? Bạn đã so sánh các nghiệm như thế nào ?

#15 khanhd0408

khanhd0408

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 28-02-2013 - 21:57

[/size]
Câu "cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý'' khẳng định như vậy là sao hả bạn ? Bạn đã so sánh các nghiệm như thế nào ?

ta có xa> 1 =>exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa)>xa
mình nghĩ là như vậy.

#16 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 01-03-2013 - 01:00

ta có xa> 1 =>exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa)>xa
mình nghĩ là như vậy.

Như thế là không đúng,vì chưa kết luận luận $x_a>1$ và không đủ dữ kiện để chứng minh $e^{x_a}+x_a Q(x_a)+x_{a}^2 Q^2(x_a)>x_a$
Bài 6,mình nghĩ đến một tích phân đường nào đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 01-03-2013 - 01:04


#17 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 02-03-2013 - 11:48


Câu 6:
Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh
$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$

Câu này mình chỉ chứng minh được $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+2(1-m^2)$$
Liệu đề có vấn đề gì không,bạn phudinhgioihan cho ý kiến đi ?

#18 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 13-03-2013 - 16:54

Hình đã gửi

Thời gian 60 phút.




Bài 1: Cho $A$ là ma trận cấp $2 \times 3$ và $B$ là ma trận cấp $3 \times 2 $ thỏa

$$BA=\begin{bmatrix}
8 & 2&-2 \\
2& 5& 4\\
-2&4 & 5
\end{bmatrix} $$

Tìm $AB$

Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với $a \neq b$. Ký hiệu $M_n$ là ma trận vuông cấp $2n$ thỏa

$$m_{ij}=\left\{\begin{matrix}
x \; \text{nếu} \; i=j\\ a \; \text{nếu} \;i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là chẵn} \\
b \;\text{nếu} \; i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là lẻ}
\end{matrix}\right.$$

Tìm $\lim_{x \to a} \dfrac{\det(M_n)}{(x-a)^{2n-2}}$

Bài 3: Cho $A \in M_n (\mathbb{R})$. Chứng minh rằng $A^tA$ và $A^t$ có cùng hạng.

Bài 4: Cho ma trận $A$ như sau với $b_i \neq 0 \;, \forall i \in \{1;2;...;n\} $

$$A=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 &0 &0 &\cdots & 0 &0 \\
b_1& a_2 & b_2 &0 &\cdots &0 &0 \\
.& . &. &. & . & . &. \\
0& 0 & 0 & . &. &a_{n-1} &b_{n-1} \\
0& 0 & 0 &. & . & b_{n-1} &a_n
\end{bmatrix}$$

Chứng minh $rank(A) \ge n-1 $

Bài 5:

a) Cho $x_1,...,x_n$ là $n$ vector khác không của kgvt $V$ và $\varphi : V \to V $ là một phép biến đổi tuyến tính thỏa $\varphi x_1=x_1,\; \varphi x_k=x_k-x_{k-1} $ với $k=2,3,...,n $. Chứng minh rằng hệ vector $x_1,...,x_n$ độc lập tuyến tính.

b) Chứng minh rằng hệ vector $\{|x-1|,|x-2|,...,|x-n| \}$ độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 6: Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Giả sử tồn tại hai ma trận $X,Y$ cấp $n$ thỏa $\det(AX+BY) \neq 0$. Chứng minh $\det(A^2+B^2) \neq 0$.

Bài 7: Cho $A,B,C,D \in M_n(\mathbb{R})$ thỏa $AB^t$ và $CD^t$ là hai ma trận đối xừng và $AD^t-BC^t=I$. Chứng minh rằng $A^tD-C^tB=I$.

Bài 8: Cho $P,Q,U,V$ là các ma trận cấp 2 thỏa $U,V$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $X^2-PX+Q=0$ và $U-V$ khả nghịch.

Chứng minh $Tr(U+V)=Tr(P) $ và $\det(UV)=\det(Q)$.

Bài 9: Cho $P$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét

$$Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x)+x(P^2(x)+P'^2(x))$$

$Q(x)$ có ít nhất $2n-1$ nghiệm thực phân biệt đúng hay sai?

P/s: 60 phút với 9 câu thì các bạn nghĩ đề này thế nào :D :D

Do thầy có việc bận cần đi gấp nên chủ yếu là làm trọn một vài bài để thầy xem cách giải quyết vấn đề, cộng thêm thể hiện trên lớp lúc học bồi dưỡng đội tuyển để quyết định ai xứng đáng được đi hơn, số bài giải được cũng chưa nói lên điều gì!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 15-03-2013 - 20:39

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#19 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 23-03-2013 - 10:22

[size=4]
Câu này mình chỉ chứng minh được $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+2(1-m^2)$$
Liệu đề có vấn đề gì không,bạn phudinhgioihan cho ý kiến đi ?

Giải. Do $f$ là hàm lồi nên tồn tại $c \in \left[ {0,a} \right]$ sao cho $f$ giảm trên $\left[ {0,c} \right]$ và tăng trên $\left[ {c,a} \right]$, khi đó $f( c ) = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0,a} \right]} f(x)$ và $f(x) \le 1,\forall x \in \left[ {0,a} \right]$.
Ta có
$\int\limits_0^a {f(x)\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} } dx \le \int\limits_0^a {f(x)\left( {1 + \left| {f'(x)} \right|} \right)} dx = \int\limits_0^a {f(x)} dx + \int\limits_0^a {f(x)\left| {f'(x)} \right|dx} $ .
$ \le a + \int\limits_0^a {f(x)\left| {f'(x)} \right|dx}  = a - \int\limits_0^c {f(x)f'(x)dx}  + \int\limits_c^a {f(x)f'(x)dx}  = a + 1 - {m^2}$ .
Bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bằng cách tương tự trên ta có thể chứng minh được rằng với mọi số số thực $\alpha  \ne  - 1$ thì
$$\int\limits_0^a {{f^\alpha }(x)\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} } dx \le a + \frac{{2 - {m^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangnamneu: 23-03-2013 - 10:24

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#20 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 23-03-2013 - 17:00


Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho :

$a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số

$$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x $$
 

Dùng một cái mệnh đề nhỏ là:
Hàm $f$ có đạo hàm tại $x=0$ và thỏa mãn $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in R$; $f(0)=0$. Khi đó $f '(0)=0$.
Quay lại bài toán:
Xét hàm $g(x)=(a_1^x+a_2^x+....+a_n^x)-(b_1^x+b_2^x+....+b_n^x)$, rõ ràng hàm này thõa mãn các điều kiện của mệnh đề trên, suy ra $g '(0)=0$. Kéo theo $a_1.a_2.....a_n=b_1.b_2.....b_n$ (1).
Tiếp tục xét hàm số $f(x)=(\frac{a_1}{b_1})^x+(\frac{a_2}{b_2})^x+....+(\frac{a_n}{b_n})^x$, rõ ràng $f '' (x) \geq 0$ , suy ra $f '(x) \geq f '(0)$với mọi $x \geq 0$ . Thế nhưng $f '(0)=0$ theo (1). Như vậy hàm $f$ đồng biến trên $[0,+\infty)$, và một cách tương tự, sẽ nghịch biến trên $(-\infty,0]$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 23-03-2013 - 17:30





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh