Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic toán sinh viên 2013 ĐHSP HCM môn giải tích


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#21 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 23-03-2013 - 23:43

câu 3) Ta đặt degP = m và deg Q= n thay vào đề bài ta dễ dàng có được m=n.
xét H(x) = P(x)-Q(x) ta sẽ chứng minh H(x) có vô số nghiệm.
Theo đề bài ta có thì : P(1)=Q(1)
=> H(x) hoặc là có hữu hạn nghiệm hoặc là vô số nghiệm.
Giả sử: H(x) có hữu hạn nghiệm
ta gọi x1,x2 ,.... xq là các nghiệm của phương trình H(x)
Không mất tính tổng quát ta giả sử max {xi} = xa
thay xa vao đề ta có P(exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) )=Q(exa + xa P(xa) +x2a P2 (xa​) )

=> exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(xa)=Q(xa))
cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý
=> H(X) không có hữu han nghiệm
=> H(X) có vô số nghiệm=>$P(X)\equiv Q(X)$ (đpcm)

Do lần đầu em tham gia xiin các anh góp ý.

Ý tưởng lời giải của bạn là chính xác rồi, chỉ có điều trình bày chưa rõ ràng lắm nên hơi khó hiểu. Mình xin đươc trình bày lại theo ý tưởng của bạn như sau:
Đặt $H(x)=P(x)-Q(x)$. Thay $x=0$ vào giả thiết ban đầu của bài toán suy ra $H(1)=0$. Như vậy $H(x)$ có ít nhất một nghiệm thực.
Gọi $x_0$ là nghiệm thực của $H(x)$, thay $x=x_0$ và giả thiết ta suy ra $x_1=e^{x_0}+x_0P(x_0)+x_0^2P^2(x_0)$ cũng là nghiệm của $H(x)$. Như vậy ta có thể xây dựng một dãy nghiệm thực của $H(x)$ với $x_0=1$ và $x_{n+1}=e^{x_n}+x_nP(x_n)+x^2_nP^2(x_n)$. Chú ý rằng $e^{x}+xP(x)+x^2P^2(x) \geq e^{x}-\frac{1}{4}>x$ với mọi $x \geq 1$, như vậy có thể thấy dãy $x_n$ tăng ngặt. Suy ra $H(x)$ có vô hạn nghiệm thực, đồng nghĩa với việc $H(x) \equiv 0$. (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 23-03-2013 - 23:51


#22 LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-12-2015 - 01:33

Câu 4 Ta sử dụng Larange để giải bài này

Xét $g(x)=\ln{\sin{f(x)}}$


Theo đl Larange ta có 
$g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}=\frac{\ln{\sin{f(b)}}-\ln{\sin{f(a)}}}{b-a}$với $g'(c)=f'(c)\cot{f(c)}$(1)

$\frac{1}{a-c}<0<\frac{1}{b-a}<\frac{1}{b-c}$(2) 

Mặt khác $\ln{\sin{f(b)}}-\ln{\sin{f(a)}}<2$ (3)

Từ (1)(2)(3) Ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 05-12-2015 - 01:35





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh