Đề thi Olympic toán sinh viên 2013 ĐHSP HCM môn giải tích
#1
Đã gửi 23-02-2013 - 13:10
Câu 2: Giả sử hai dãy $(a_n),(b_n)$ thoả các điều kiện sau:
i) $\frac{5}{12} \le a_n+b_n \le \frac{11}{12} $
ii) $a_{n+1}=a_n^2+2b_n(1-a_n-b_n)$
iii) $b_{n+1}=b_n^2+2a_n(1-a_n-b_n)$
Tìm $\lim_{n \to +\infty}a_n $, $ \lim_{n \to +\infty} b_n $
Câu 3: Cho $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực thoả mãn:
$P\left[ e^x+xQ(x)+x^2Q^2(x) \right] =Q \left[ e^x+xP(x)+x^2P^2(x) \right] \;, \forall x \in \mathbb{R} $
Chứng minh $P \equiv Q$
Câu 4: Cho $f$ liên tục trên $[a;b]$, khả vi trên $(a,b)$ và $f'(x) \neq 0 \;, \forall x \in (a,b)$. Chứng minh rằng $\exists c \in (a,b) ;\; \dfrac{2}{a-c}<f'( c ) \cot (f ( c)) < \dfrac{2}{b-c}$
Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho :
$a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số
$$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x $$
Câu 6:
Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh
$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$
#2
Đã gửi 23-02-2013 - 18:28
với n > N ta có:
$a_{n+1}\leq qa_n+\xi _n\leq ...\leq q^{n-N+1}a_{N}+q^{n-N}\xi _{n-N}+...q\xi _{n-1}+\xi _n\leq q^{n-N+1}a_{N}+\frac{\xi(1-q^{n-N+1}) }{1-q}\rightarrow \frac{\xi }{1-q}$
do $\xi$ bé tùy ý nên ta có điều phải cm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 23-02-2013 - 18:28
#3
Đã gửi 23-02-2013 - 20:53
Chứng minh BĐT bên trái:
Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$
Xét: \[g\left( x \right) = ln\left[ {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right] + 2ln\left( {x - a} \right)\]
\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]
Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]
Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]
Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự.
- phanquockhanh yêu thích
#4
Đã gửi 23-02-2013 - 21:38
1)với $\xi >0$ thì $\exists N $ sao cho với mọi $n>N$ thì $\xi _{n}<\xi $
với n > N ta có:
$a_{n+1}\leq qa_n+\xi _n\leq ...\leq q^{n-N+1}a_{N}+q^{n-N}\xi _{n-N}+...q\xi _{n-1}+\xi _n\leq q^{n-N+1}a_{N}+\frac{\xi(1-q^{n-N+1}) }{1-q}\rightarrow \frac{\xi }{1-q}$
do $\xi$ bé tùy ý nên ta có điều phải cm
Sai rồi em, $q$ đâu chắc đã không âm đâu.
Dễ chứng minh $a_{n} \le |q|^{k}a_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}|p|^{i}|\epsilon_{n-1-i} |\;, k=1,...,n-1$
$$\forall \epsilon>0, \exists n_0, \forall n \ge n_0, |\epsilon_n|<\epsilon$$
Suy ra $$ \forall n>n_0, a_n \le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\sum_{i=0}^{n-n_0-1} |p|^i| \epsilon_{n-1-i}| $$
$$\le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\epsilon \sum_{i=0}^{n-n_0-1} |p|^i$$
$$\le |q|^{n-n_0}a_{n_0}+\epsilon \dfrac{1-|p|^{n-n_0}}{1-|p|} <|q|^{n-n_0}a_{n_0}+\dfrac{\epsilon}{1-|p|}$$
Do $\lim_{n \to +\infty} |q|^{n-n_0}a_{n_0}=0 $ nên với $n_1$ nào đó đủ lớn, $\forall n>n_1, \; |q|^{n-n_0}a_{n_0}<\epsilon$
Đặt $N=\max\{n_0,n_1\}$ , $\forall n>N, 0 \le a_n < \epsilon(1+\frac{1}{1-|q|})$
Vậy $\lim_{n \to +\infty} a_n=0$
- duong vi tuan và viet 1846 thích
#5
Đã gửi 23-02-2013 - 21:55
Câu 4:
Chứng minh BĐT bên trái:
Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$
Xét: \[g\left( x \right) = ln\left[ {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right] + 2ln\left( {x - a} \right)\]
\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]
Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]
Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]
Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự.
Lời giải sai bởi có chắc $\sin (f(x))>0 \;, \forall x \in [a;b] $ ?
Xét $g(x)=\sin (f(x)) (x-a)(x-b) $
Dễ thấy $g$ liên tục trên $[a;b]$ và khả vi trên $(a;b)$ đồng thời $g(a)=g(b)=0$, do đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho
$$g'( c)=0$$
$$\Leftrightarrow f'( c)\cos (f( c))(a-c)(b-c)=\sin(f( c))(a+b-2c)$$
Nếu $\cos(f( c))=0 \Rightarrow f'( c) \cot (f( c))=0$ và do đó hiển nhiên có $\frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$
Nếu $\cos (f( c)) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))(a+b-2c) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))\neq 0$
$\Rightarrow f'( c) \cot (f( c)) =\dfrac{1}{a-c}+\dfrac{1}{b-c} \in (\dfrac{1}{a-c}; \dfrac{1}{b-c})$
suy ra $$ \frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 23-02-2013 - 21:57
#6
Đã gửi 23-02-2013 - 22:58
Lời giải sai bởi có chắc $\sin (f(x))>0 \;, \forall x \in [a;b] $ ?
Xét $g(x)=\sin (f(x)) (x-a)(x-b) $
Dễ thấy $g$ liên tục trên $[a;b]$ và khả vi trên $(a;b)$ đồng thời $g(a)=g(b)=0$, do đó tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho
$$g'( c)=0$$
$$\Leftrightarrow f'( c)\cos (f( c))(a-c)(b-c)=\sin(f( c))(a+b-2c)$$
Nếu $\cos(f( c))=0 \Rightarrow f'( c) \cot (f( c))=0$ và do đó hiển nhiên có $\frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$
Nếu $\cos (f( c)) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))(a+b-2c) \neq 0 \Rightarrow \sin(f( c))\neq 0$
$\Rightarrow f'( c) \cot (f( c)) =\dfrac{1}{a-c}+\dfrac{1}{b-c} \in (\dfrac{1}{a-c}; \dfrac{1}{b-c})$
suy ra $$ \frac{1}{a-c} <f'( c) \cot (f( c))<\frac{1}{b-c}$$
Nếu thay là $\|sin (f(x))|$ thì được chứ đại ca.
#7
Đã gửi 23-02-2013 - 23:07
Nếu thay là $\|sin (f(x))|$ thì được chứ đại ca.
Nếu có $x_0$ sao cho $\sin (f(x_0))=0 $ ? Ý tưởng của em cũng hay nhưng có điểm này là phải chỉnh sửa thôi
#8
Đã gửi 23-02-2013 - 23:14
Nếu có $x_0$ sao cho $\sin (f(x_0))=0 $ ? Ý tưởng của em cũng hay nhưng có điểm này là phải chỉnh sửa thôi
Vâng, để em suy nghĩ và bổ sung.
#9
Đã gửi 24-02-2013 - 12:24
Câu 4:
Chứng minh BĐT bên trái:
Giả sử: $f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) \le \frac{2}{{a - x}}\,\forall x \in \left( {a;b} \right]$
Xét:\[g\left( x \right) = ln\left| {sin\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| + 2ln\left( {x - a} \right)\]
\[g'\left( x \right) = f'\left( x \right)cot\left( {f\left( x \right)} \right) + \frac{2}{{x - a}} \le 0\]
Suy ra: \[g\left( x \right) \ge g\left( b \right) = ln\left( {b - a} \right)\]
Mặt khác: \[\mathop {lim}\limits_{x \to {a^ + }} \left[ {g\left( x \right)} \right] = - \infty \]
Suy ra vô lý. Vậy BĐT bên trái được chứng minh, bên phải tương tự.
chỉnh sửa một tý.
Nếu tồn tại $c$ sao cho $sin(f(c))=0$ thì ta có $c$ chính là số cần tìm.
Nếu $sin(f(x))$ khác $0$ với mọi $x\in (0;1]$ thì làm như trên.
#10
Đã gửi 24-02-2013 - 13:49
Mình thấy $sin(f(x))=0$ thì $cot(f(x))$ không xác định mà.chỉnh sửa một tý.
Nếu tồn tại $c$ sao cho $sin(f(x))=0$ thì ta có $c$ chính là số cần tìm.
Nếu $sin(f(x))$ khác $0$ với mọi $x\in (0;1]$ thì làm như trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 26-02-2013 - 15:29
#11
Đã gửi 25-02-2013 - 22:45
Nhưng mình chưa chứng minh được dãy $(a_n+b_n)$ có giới hạn.Có bạn nào giúp phần này không ?
Câu 3 và câu 6 ,có bạn nào giải được chưa ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 26-02-2013 - 15:28
#12
Đã gửi 26-02-2013 - 21:21
xét H(x) = P(x)-Q(x) ta sẽ chứng minh H(x) có vô số nghiệm.
Theo đề bài ta có thì : P(1)=Q(1)
=> H(x) hoặc là có hữu hạn nghiệm hoặc là vô số nghiệm.
Giả sử: H(x) có hữu hạn nghiệm
ta gọi x1,x2 ,.... xq là các nghiệm của phương trình H(x)
Không mất tính tổng quát ta giả sử max {xi} = xa
thay xa vao đề ta có P(exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) )=Q(exa + xa P(xa) +x2a P2 (xa) )
=> exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(xa)=Q(xa))
cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý
=> H(X) không có hữu han nghiệm
=> H(X) có vô số nghiệm=>$P(X)\equiv Q(X)$ (đpcm)
Do lần đầu em tham gia xiin các anh góp ý.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanhd0408: 26-02-2013 - 21:26
- HeilHitler yêu thích
#13
Đã gửi 28-02-2013 - 07:06
Nếu như q âm và epsilon_n củng âm (hoặc bằng 0) thì có vấn đề !!
(xin lổi lính mới chưa biết xài Latex !!)
q bằng 0 vẫn tốt như thường
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lacduyen: 28-02-2013 - 07:09
#14
Đã gửi 28-02-2013 - 11:48
thay xa vao đề ta có P(exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) )=Q(exa + xa P(xa) +x2a P2 (xa) )
=> exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa) cũng là 1 nghiệm của H(x) (do P(xa)=Q(xa))
cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý
Câu "cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý'' khẳng định như vậy là sao hả bạn ? Bạn đã so sánh các nghiệm như thế nào ?
#15
Đã gửi 28-02-2013 - 21:57
ta có xa> 1 =>exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa)>xa[/size]
Câu "cứ liên tục như vậy => xa là max là vô lý'' khẳng định như vậy là sao hả bạn ? Bạn đã so sánh các nghiệm như thế nào ?
mình nghĩ là như vậy.
#16
Đã gửi 01-03-2013 - 01:00
Như thế là không đúng,vì chưa kết luận luận $x_a>1$ và không đủ dữ kiện để chứng minh $e^{x_a}+x_a Q(x_a)+x_{a}^2 Q^2(x_a)>x_a$ta có xa> 1 =>exa + xa Q(xa) +x2a Q2 (xa)>xa
mình nghĩ là như vậy.
Bài 6,mình nghĩ đến một tích phân đường nào đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 01-03-2013 - 01:04
#17
Đã gửi 02-03-2013 - 11:48
Câu 6:
Cho $f \in C^2[0;a] \;, a>0, f(x) \ge 0,f''(x) \ge 0,\; \forall x \in [0;a]$. Giả sử $f(0)=f(a)=1$. Gọi $m=\min_{[0;a]} f(x)$, chứng minh
$$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+1-m^2$$
Câu này mình chỉ chứng minh được $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+2(1-m^2)$$
Liệu đề có vấn đề gì không,bạn phudinhgioihan cho ý kiến đi ?
#18
Đã gửi 13-03-2013 - 16:54
Thời gian 60 phút.
Bài 1: Cho $A$ là ma trận cấp $2 \times 3$ và $B$ là ma trận cấp $3 \times 2 $ thỏa
$$BA=\begin{bmatrix}
8 & 2&-2 \\
2& 5& 4\\
-2&4 & 5
\end{bmatrix} $$
Tìm $AB$
Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với $a \neq b$. Ký hiệu $M_n$ là ma trận vuông cấp $2n$ thỏa
$$m_{ij}=\left\{\begin{matrix}
x \; \text{nếu} \; i=j\\ a \; \text{nếu} \;i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là chẵn} \\
b \;\text{nếu} \; i \neq j \; \text{và} \; i+j \;\text{là lẻ}
\end{matrix}\right.$$
Tìm $\lim_{x \to a} \dfrac{\det(M_n)}{(x-a)^{2n-2}}$
Bài 3: Cho $A \in M_n (\mathbb{R})$. Chứng minh rằng $A^tA$ và $A^t$ có cùng hạng.
Bài 4: Cho ma trận $A$ như sau với $b_i \neq 0 \;, \forall i \in \{1;2;...;n\} $
$$A=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 &0 &0 &\cdots & 0 &0 \\
b_1& a_2 & b_2 &0 &\cdots &0 &0 \\
.& . &. &. & . & . &. \\
0& 0 & 0 & . &. &a_{n-1} &b_{n-1} \\
0& 0 & 0 &. & . & b_{n-1} &a_n
\end{bmatrix}$$
Chứng minh $rank(A) \ge n-1 $
Bài 5:
a) Cho $x_1,...,x_n$ là $n$ vector khác không của kgvt $V$ và $\varphi : V \to V $ là một phép biến đổi tuyến tính thỏa $\varphi x_1=x_1,\; \varphi x_k=x_k-x_{k-1} $ với $k=2,3,...,n $. Chứng minh rằng hệ vector $x_1,...,x_n$ độc lập tuyến tính.
b) Chứng minh rằng hệ vector $\{|x-1|,|x-2|,...,|x-n| \}$ độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.
Bài 6: Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Giả sử tồn tại hai ma trận $X,Y$ cấp $n$ thỏa $\det(AX+BY) \neq 0$. Chứng minh $\det(A^2+B^2) \neq 0$.
Bài 7: Cho $A,B,C,D \in M_n(\mathbb{R})$ thỏa $AB^t$ và $CD^t$ là hai ma trận đối xừng và $AD^t-BC^t=I$. Chứng minh rằng $A^tD-C^tB=I$.
Bài 8: Cho $P,Q,U,V$ là các ma trận cấp 2 thỏa $U,V$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $X^2-PX+Q=0$ và $U-V$ khả nghịch.
Chứng minh $Tr(U+V)=Tr(P) $ và $\det(UV)=\det(Q)$.
Bài 9: Cho $P$ là đa thức hệ số thực có $n$ nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét
$$Q(x)=(x^2+1)P(x)P'(x)+x(P^2(x)+P'^2(x))$$
$Q(x)$ có ít nhất $2n-1$ nghiệm thực phân biệt đúng hay sai?
P/s: 60 phút với 9 câu thì các bạn nghĩ đề này thế nào
Do thầy có việc bận cần đi gấp nên chủ yếu là làm trọn một vài bài để thầy xem cách giải quyết vấn đề, cộng thêm thể hiện trên lớp lúc học bồi dưỡng đội tuyển để quyết định ai xứng đáng được đi hơn, số bài giải được cũng chưa nói lên điều gì!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 15-03-2013 - 20:39
- viet 1846 và letrongvan thích
#19
Đã gửi 23-03-2013 - 10:22
[size=4]
Câu này mình chỉ chứng minh được $$\int_0^a f(x) \sqrt{1+f'^2(x)}dx \le a+2(1-m^2)$$
Liệu đề có vấn đề gì không,bạn phudinhgioihan cho ý kiến đi ?
Giải. Do $f$ là hàm lồi nên tồn tại $c \in \left[ {0,a} \right]$ sao cho $f$ giảm trên $\left[ {0,c} \right]$ và tăng trên $\left[ {c,a} \right]$, khi đó $f( c ) = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0,a} \right]} f(x)$ và $f(x) \le 1,\forall x \in \left[ {0,a} \right]$.
Ta có
$\int\limits_0^a {f(x)\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} } dx \le \int\limits_0^a {f(x)\left( {1 + \left| {f'(x)} \right|} \right)} dx = \int\limits_0^a {f(x)} dx + \int\limits_0^a {f(x)\left| {f'(x)} \right|dx} $ .
$ \le a + \int\limits_0^a {f(x)\left| {f'(x)} \right|dx} = a - \int\limits_0^c {f(x)f'(x)dx} + \int\limits_c^a {f(x)f'(x)dx} = a + 1 - {m^2}$ .
Bất đẳng thức được chứng minh.
Nhận xét: Bằng cách tương tự trên ta có thể chứng minh được rằng với mọi số số thực $\alpha \ne - 1$ thì
$$\int\limits_0^a {{f^\alpha }(x)\sqrt {1 + {{\left( {f'(x)} \right)}^2}} } dx \le a + \frac{{2 - {m^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangnamneu: 23-03-2013 - 10:24
- phudinhgioihan và LangTu Mua Bui thích
Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn
#20
Đã gửi 23-03-2013 - 17:00
Câu 5: Cho $a_1,a_2,...,a_{2013},b_1,b_2,...,b_{2013}>0$ sao cho :
$a_1^x+a_2^x+...+a_{2013}^x \ge b_1^x+b_2^x+...+b_{2013}^x \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đơn điệu của hàm số
$$f(x)=\left( \frac{a_1}{b_1} \right)^x+\left( \frac{a_2}{b_2} \right)^x+...+\left( \frac{a_{2013}}{b_{2013}} \right)^x $$
Dùng một cái mệnh đề nhỏ là:
Hàm $f$ có đạo hàm tại $x=0$ và thỏa mãn $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in R$; $f(0)=0$. Khi đó $f '(0)=0$.
Quay lại bài toán:
Xét hàm $g(x)=(a_1^x+a_2^x+....+a_n^x)-(b_1^x+b_2^x+....+b_n^x)$, rõ ràng hàm này thõa mãn các điều kiện của mệnh đề trên, suy ra $g '(0)=0$. Kéo theo $a_1.a_2.....a_n=b_1.b_2.....b_n$ (1).
Tiếp tục xét hàm số $f(x)=(\frac{a_1}{b_1})^x+(\frac{a_2}{b_2})^x+....+(\frac{a_n}{b_n})^x$, rõ ràng $f '' (x) \geq 0$ , suy ra $f '(x) \geq f '(0)$với mọi $x \geq 0$ . Thế nhưng $f '(0)=0$ theo (1). Như vậy hàm $f$ đồng biến trên $[0,+\infty)$, và một cách tương tự, sẽ nghịch biến trên $(-\infty,0]$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 23-03-2013 - 17:30
- Ispectorgadget và phudinhgioihan thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh