Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Bắt đầu bởi caokhanh97, 23-02-2013 - 19:05
#2
Đã gửi 23-02-2013 - 19:23
DSH
-
- Thành viên
-
- 12 Bài viết
Binh nhì
Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Lời giải
$\sum \dfrac{a^2+bc}{b+c} \ge \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+bc+ac+ab}{b+c} \ge 2 \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c} \ge 2 \sum a$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x} \ge \sum x$
$\Leftrightarrow \sum yz^2 \ge xyz(x+y+z)$
Đúng theo $AM-GM$
#3
Đã gửi 23-02-2013 - 19:38
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Ta có : $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}- \sum a=\sum \frac{a^2+bc-ab-ac}{b+c}= \sum \frac{(a-b)(a-c)}{b+c}$Lời giải
$\sum \dfrac{a^2+bc}{b+c} \ge \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+bc+ac+ab}{b+c} \ge 2 \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c} \ge 2 \sum a$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x} \ge \sum x$
$\Leftrightarrow \sum yz^2 \ge xyz(x+y+z)$
Đúng theo $AM-GM$
Áp dụng bất đẳng thức Schur suyôngj ta có ngay đpcm ?
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
