Chủ đề này có 5 trả lời

[caokhanh97]

Cho x,y,z > 0 và x + y + z = 1. Cmr : $\sum \frac{1+x}{y+z} \leq 2\sum \frac{x}{z}$

[dtvanbinh]

ngủ cả ngày giờ mới onl được,
bất đẳng thức đã cho tương đương với
$\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
giả sử $x\leq y\leq z$
đặt $f(x)=\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
$f'(x)=\frac{2}{(1-x)^{2}}+2\frac{yz-x^{2}}{zx^{2}}\geq 0$
nên $f(x)\leq f(y)=2\frac{1+y}{1-y}+\frac{1+z}{1-z}-2\sum \frac{x}{z}=g(y)$
$g'(y)=\frac{4}{(1-y)^{2}}+\frac{4z-2y^{2}}{yz^{2}}\geq 0$
nên $g(y)\leq g(z)=0$
ta có dpcm

[caokhanh97]

ngủ cả ngày giờ mới onl được,
bất đẳng thức đã cho tương đương với
$\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
giả sử $x\leq y\leq z$
đặt $f(x)=\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
$f'(x)=\frac{2}{(1-x)^{2}}+2\frac{yz-x^{2}}{zx^{2}}\geq 0$
nên $f(x)\leq f(y)=2\frac{1+y}{1-y}+\frac{1+z}{1-z}-2\sum \frac{x}{z}=g(y)$
$g'(y)=\frac{4}{(1-y)^{2}}+\frac{4z-2y^{2}}{yz^{2}}\geq 0$
nên $g(y)\leq g(z)=0$
ta có dpcm

e ms học lớp 10 nên giải theo cách này chưa hiểu đc a à

[dtvanbinh]

e ms học lớp 10 nên giải theo cách này chưa hiểu đc a à

mời anh joker giải đi em ơi,anh đấy hay có cách độc lắm

[25 minutes]

Cho x,y,z > 0 và x + y + z = 1. Cmr : $\sum \frac{1+x}{y+z} \leq 2\sum \frac{x}{z}$

ngủ cả ngày giờ mới onl được,
bất đẳng thức đã cho tương đương với
$\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
giả sử $x\leq y\leq z$
đặt $f(x)=\sum \frac{1+x}{1-x}-2\sum \frac{x}{z}$
$f'(x)=\frac{2}{(1-x)^{2}}+2\frac{yz-x^{2}}{zx^{2}}\geq 0$
nên $f(x)\leq f(y)=2\frac{1+y}{1-y}+\frac{1+z}{1-z}-2\sum \frac{x}{z}=g(y)$
$g'(y)=\frac{4}{(1-y)^{2}}+\frac{4z-2y^{2}}{yz^{2}}\geq 0$
nên $g(y)\leq g(z)=0$
ta có dpcm

Ta có thể làm như sau, tránh việc sử dụng đạo hàm và hàm số anh ạ
BĐT đã cho tương đương với $\sum \frac{1+x}{1-x}\leq 2\sum \frac{x}{z}\Leftrightarrow \sum 1+\frac{2x}{1-x} \leq \sum \frac{x}{z}$
$\Leftrightarrow 3+\sum \frac{2x}{y+z} \leq 2\sum \frac{x}{z}$ (1)
Do không mất tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sử $x \leq y \leq z > 0$
Khai triển bất đẳng thức $(x-y)(x-z)(y-z) \geq 0\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{2}$
Do đó $VP(1) \geq \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{z}=P$
Ta sẽ chứng minh $P \geq 3+\sum \frac{2x}{y+z}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-6\geq \sum \frac{2x}{y+z}-3$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)^2}{xy} \geq \sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{xy}-\frac{1}{(x+z)(y+z)} \right ]\geq 0$
Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng và $(x+z)(y+z) > xy$
Do đó ta có ngay đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1/3$ ?

[dtvanbinh]

Ta có thể làm như sau, tránh việc sử dụng đạo hàm và hàm số anh ạ
BĐT đã cho tương đương với $\sum \frac{1+x}{1-x}\leq 2\sum \frac{x}{z}\Leftrightarrow \sum 1+\frac{2x}{1-x} \leq \sum \frac{x}{z}$
$\Leftrightarrow 3+\sum \frac{2x}{y+z} \leq 2\sum \frac{x}{z}$ (1)
Do không mất tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sử $x \leq y \leq z > 0$
Khai triển bất đẳng thức $(x-y)(x-z)(y-z) \geq 0\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{2}$
Do đó $VP(1) \geq \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{z}=P$
Ta sẽ chứng minh $P \geq 3+\sum \frac{2x}{y+z}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-6\geq \sum \frac{2x}{y+z}-3$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)^2}{xy} \geq \sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{xy}-\frac{1}{(x+z)(y+z)} \right ]\geq 0$
Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng và $(x+z)(y+z) > xy$
Do đó ta có ngay đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1/3$ ?

Ta có thể làm như sau, tránh việc sử dụng đạo hàm và hàm số anh ạ
BĐT đã cho tương đương với $\sum \frac{1+x}{1-x}\leq 2\sum \frac{x}{z}\Leftrightarrow \sum 1+\frac{2x}{1-x} \leq \sum \frac{x}{z}$
$\Leftrightarrow 3+\sum \frac{2x}{y+z} \leq 2\sum \frac{x}{z}$ (1)
Do không mất tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sử $x \leq y \leq z > 0$
Khai triển bất đẳng thức $(x-y)(x-z)(y-z) \geq 0\Rightarrow \frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{2}$
Do đó $VP(1) \geq \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{z}=P$
Ta sẽ chứng minh $P \geq 3+\sum \frac{2x}{y+z}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-6\geq \sum \frac{2x}{y+z}-3$
$\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)^2}{xy} \geq \sum \frac{(x-y)^2}{(x+z)(y+z)}$
$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2\left [ \frac{1}{xy}-\frac{1}{(x+z)(y+z)} \right ]\geq 0$
Nhưng bất đẳng thức này luôn đúng và $(x+z)(y+z) > xy$
Do đó ta có ngay đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1/3$ ?

hay quá