Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geq \frac{c}{a}+4$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyenvinhthanh

nguyenvinhthanh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ có nghiệm nếu $\frac{2b}{a}\geq \frac{c}{a}+4$

#2
mathprovn

mathprovn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
Nếu $c = 0$ thì phương trình luôn có nghiệm 2 nghiệm.
Nếu $ac < 0$ thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Nếu $ac > 0$ thì $\frac{c}{a} > 0$. Do đó:
Theo BĐT Cauchy, ta có:
$\frac{2b}{a} \geq \frac{c}{a} + 4 \geq 2\sqrt{4.\frac{c}{a}} = 4\sqrt{\frac{c}{a}}$
$ \Rightarrow \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{c}{a}} \Leftrightarrow \frac{b^2}{a^2} \geq \frac{4c}{a} \Leftrightarrow b^2 - 4ac \geq 0$

photo-89836_zpseddf800c.gif VMF - Ngôi nhà chung của Toán Học :like 


#3
mathprovn

mathprovn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
Một cách giải khác:
Nhân 2 vế của $\frac{2b}{a} \geq \frac{c}{a} + 4$ với $4a^2$ ta được:
$8ab \geq 4ac + 16a^2 \Leftrightarrow - 4ac \geq 16a^2 - 8ab \Leftrightarrow b^2 - 4ac \geq 16a^2 - 8ab + b^2$
$\Leftrightarrow \Delta \geq (4a - b)^2 \geq 0$

photo-89836_zpseddf800c.gif VMF - Ngôi nhà chung của Toán Học :like 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh