Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức Việt Nam TST 2006

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
Trong kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 2006 trong bài thi ngày thứ 2 có bài toán bất đẳng thức sau đây của thầy Trần Nam Dũng
Chứng minh rằng nếu $x,y,z$ thuộc $[1,2]$ thì $$(x+y+z)\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right ) \ge 6\left ( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right ).$$
bài toán còn đúng trong điều kiện mạnh hơn khi $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của tam giác, tức là ta có thể đưa bài toán về điều kiện ba biến dương như sau $$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right ) \ge 3\left ( \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c} \right ).$$ Theo mình được biết thì bài toán có hai lời giải là S.O.S và dồn biến, hiện vẫn chưa có lời giải bằng cổ điển cho bài toán này, mình vẫn đang tìm một lời giải cổ điển cho bài toán này nhưng vẫn chưa tìm được, nay viết lên đây hi vọng nhận được sự quan tâm của các bạn. :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-02-2013 - 21:52

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

$$(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right ) \ge 3\left ( \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c} \right ).$$

Em làm cách suýt cổ điển ạ :">
CHuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+3\geq \frac{6}{b+2c+a}+\frac{6}{c+2a+b}+\frac{6}{a+2b+c}$$
Quy đồng và chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ pqr ta cần chứng minh:
$$12q^2+7qr-243q-3r^2+117r+486\geq 0$$
Xét đây là hàm the0 $r$ ta có $f''(r)=-6<0$ nên đây là hàm lồi the0 $r$, đạt cực tiểu tại biên, nghĩa là $r=0$ hoặc $1$.
Nếu $r=1$ thì hiển nhiên $a=b=c=1$, đẳng thức xảy ra.
Nếu $r=0$. Ta có $q\leq \frac{9}{4}$, bất đẳng thức tương đương:
$$3(4q-9)(q-19)\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết

Em làm cách suýt cổ điển ạ :">
CHuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+3\geq \frac{6}{b+2c+a}+\frac{6}{c+2a+b}+\frac{6}{a+2b+c}$$
Quy đồng và chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ pqr ta cần chứng minh:
$$12q^2+7qr-243q-3r^2+117r+486\geq 0$$
Xét đây là hàm the0 $r$ ta có $f''®=-6<0$ nên đây là hàm lồi the0 $r$, đạt cực tiểu tại biên, nghĩa là $r=0$ hoặc $1$.
Nếu $r=1$ thì hiển nhiên $a=b=c=1$, đẳng thức xảy ra.
Nếu $r=0$. Ta có $q\leq \frac{9}{4}$, bất đẳng thức tương đương:
$$3(4q-9)(q-19)\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$


:-?? cổ điển ở đâu vậy Đạt.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh