Chủ đề này có 9 trả lời

[dangnamneu]

Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013.

Môn Đại số.

Bài 1.
Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau

$\left[ \begin{matrix}
x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
{{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
... & ... & ... & ... \\
{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\
\end{matrix} \right]$

Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1.

Bài 3.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$

Bài 4.
Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$
a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$
b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$

Bài 5.
Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không?

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix}
2013 & 2012 \\
2012 & 2013 \\
\end{matrix} \right]}^{n}}$.

6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$

Môn Giải tích.

Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$

Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.

Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.

6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.

[vo van duc]

Đề Đại số này nếu chịu khó theo dõi trên VMF thì làm tốt nhỉ. hi

[thinhlongvn]

Đề Đại số này nếu chịu khó theo dõi trên VMF thì làm tốt nhỉ. hi

Cái quan trọng là chịu khó.Chịu khó được thì ai cũng có thể làm tốt

[hoangtrong2305]

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin (x+\frac{\pi}{4})}\ dx}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}\Rightarrow dt=dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})}{\sin t}\ dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\ dt}$

$I=\frac{1}{2}(1-\ln(\sin t))\: |_\frac{\pi }{4}^{\frac{\pi }{2}}=...............$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 28-02-2013 - 08:33

[YeuEm Zayta]

Câu 5,e đã từng thấy đâu đó trên diễn đàn,a Đức cko e xin cái link.tks a

[vo van duc]

Câu 5: Tham khảo tại http://diendantoanho..._20#entry385133

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-03-2013 - 10:28

[viet 1846]

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin (x+\frac{\pi}{4})}\ dx}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}\Rightarrow dt=dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})}{\sin t}\ dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\ dt}$

$I=\frac{1}{2}(1-\ln(\sin t))\: |_\frac{\pi }{4}^{\frac{\pi }{2}}=...............$

Một kĩ thuật nhỏ của dạng tích phân này là có thể xét thêm :

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{cosx}}{{\sin x + \cos x}}dx} \]

[HeilHitler]

 

Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013.
Môn Giải tích.

Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$

Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.

Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.

6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.

Nhìn sơ sơ thì ra khoảng nhiêu bài, có gì tối về giải nốt:

Bài 1:

a/ Cách cơ bản nhất là cứ xét $f(x)=cosx+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}-1$, đạo hàm cấp 4 là $f^{(4)}(x) \leq 0 \Rightarrow f^{(3)}(x) \leq f(0)$, cứ liên tục như vậy sẽ thu được $f(x) \leq 0$.

b/ (Chưa ra)
Bài 2:

Hiện tại mới nghĩ ra ý tưởng tính giới hạn $xln(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})$ liên tục bằng L'Hospital, hoặc khảo sát hàm số $(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x$ để chứng minh dãy đơn điệu nhưng rất cồng kềnh. Đặt gạch hóng các thánh xử lý nốt bài này. ;

Bài 3:

Ta có $a_3=\frac{1}{2} \geq a_2$ và $a_2 > a_1$. Do đó bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra $a_{n+1} > a_{n}$. Mặt khác, bằng quy nạp ta cũng thấy $a_n<1$. Dãy này tăng và bị chặn nên có giới hạn.

Bài 4:

Ta có:

$\int \frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=-ln(sinx+cosx)$

và $\int \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx=x$

Từ đó suy ra $\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}[x-ln(sinx+cosx)]$.

Bài 5:

Rõ ràng $f(x)=1$ với mọi $x$ không thể thõa mãn bài toán, như vậy tồn tại ít nhất một $x_0$ để $f(x_0) \neq 1$. Thay $y=x_0$ và $x=\frac{2f(x_0)}{f(x_0)-1}$ vào phương trình hàm suy ra $f[\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}]=0$. Như vậy đặt $x_1=\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}$ thì $f(x_1)=0$. Tiếp tục thay $x=0, y=x_1$ vào phương trình hàm suy ra $f(0)=0$.

Với mọi $x \in R$, thay $y=0$ vào phương trình hàm suy ra $f(x)=0$. (đpcm)

Bài 6:

a/ Để ý rằng $\int_{1}^{2}[xf(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt]dx=\int_{1}^{2}f(x)dx=0$ nên theo Lagrange tồn tại $c \in (1,2)$ để $cf( c)+\int_{1}^{c}f(t)dt=0$.

b/ Xét $g(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)$, theo quy tắc L'Hospital (http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule), ta có ngay:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g(x)}{e^{\sqrt{x}}}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g'(x)}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}=0$. (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 28-03-2013 - 16:11

[duong vi tuan]

bài 2 : sử dùng các giới hạn cơ bản : $lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=lna $ và $lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)}{x}=1 $ cả 2 cái này có thể dùng lpt để cm

ta có : 

$lim_{x\rightarrow 0}nln(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}-2}{2}+1)=lim_{x\rightarrow 0}n(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}-2}{2})=lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2} (\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}}+\frac{\sqrt[n]{b}-1}{\frac{1}{n}})=\frac{1}{2}(lna+lnb)=ln\sqrt{ab} $

[duong vi tuan]

Nhìn sơ sơ thì ra khoảng nhiêu bài, có gì tối về giải nốt:

Bài 1:

a/ Cách cơ bản nhất là cứ xét $f(x)=cosx+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}-1$, đạo hàm cấp 4 là $f^{(4)}(x) \leq 0 \Rightarrow f^{(3)}(x) \leq f(0)$, cứ liên tục như vậy sẽ thu được $f(x) \leq 0$.

b/ (Chưa ra)
Bài 2:

Hiện tại mới nghĩ ra ý tưởng tính giới hạn $xln(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})$ liên tục bằng L'Hospital, hoặc khảo sát hàm số $(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x$ để chứng minh dãy đơn điệu nhưng rất cồng kềnh. Đặt gạch hóng các thánh xử lý nốt bài này. ;

Bài 3:

Ta có $a_3=\frac{1}{2} \geq a_2$ và $a_2 > a_1$. Do đó bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra $a_{n+1} > a_{n}$. Mặt khác, bằng quy nạp ta cũng thấy $a_n<1$. Dãy này tăng và bị chặn nên có giới hạn.

Bài 4:

Ta có:

$\int \frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=-ln(sinx+cosx)$

và $\int \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx=x$

Từ đó suy ra $\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}[x-ln(sinx+cosx)]$.

Bài 5:

Rõ ràng $f(x)=1$ với mọi $x$ không thể thõa mãn bài toán, như vậy tồn tại ít nhất một $x_0$ để $f(x_0) \neq 1$. Thay $y=x_0$ và $x=\frac{2f(x_0)}{f(x_0)-1}$ vào phương trình hàm suy ra $f[\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}]=0$. Như vậy đặt $x_1=\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}$ thì $f(x_1)=0$. Tiếp tục thay $x=0, y=x_1$ vào phương trình hàm suy ra $f(0)=0$.

Với mọi $x \in R$, thay $y=0$ vào phương trình hàm suy ra $f(x)=0$. (đpcm)

Bài 6:

a/ Để ý rằng $\int_{1}^{2}[xf(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt]dx=\int_{1}^{2}f(x)dx=0$ nên theo Lagrange tồn tại $c \in (1,2)$ để $cf( c)+\int_{1}^{c}f(t)dt=0$.

b/ Xét $g(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)$, theo quy tắc L'Hospital (http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule), ta có ngay:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g(x)}{e^{\sqrt{x}}}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g'(x)}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}=0$. (đpcm)

bài 6a bạn làm rõ hơn đc ko