Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN FPT 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 24-02-2013 - 22:00


Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013.

Môn Đại số.

Bài 1.
Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau

$\left[ \begin{matrix}
x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
{{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
... & ... & ... & ... \\
{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\
\end{matrix} \right]$


Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1.

Bài 3.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$

Bài 4.
Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$
a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$
b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$

Bài 5.
Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không?

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix}
2013 & 2012 \\
2012 & 2013 \\
\end{matrix} \right]}^{n}}$.

6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$

Môn Giải tích.

Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$

Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.

Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$


Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.

6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#2 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-02-2013 - 08:35

Đề Đại số này nếu chịu khó theo dõi trên VMF thì làm tốt nhỉ. hi

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#3 thinhlongvn

thinhlongvn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:suacuacuon
  • Sở thích:suacuacuon

Đã gửi 25-02-2013 - 14:49

Đề Đại số này nếu chịu khó theo dõi trên VMF thì làm tốt nhỉ. hi

Cái quan trọng là chịu khó.Chịu khó được thì ai cũng có thể làm tốt

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCSTHPTOlympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...


#4 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 28-02-2013 - 08:27


Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.


$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin (x+\frac{\pi}{4})}\ dx}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}\Rightarrow dt=dt$


$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})}{\sin t}\ dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\ dt}$


$I=\frac{1}{2}(1-\ln(\sin t))\: |_\frac{\pi }{4}^{\frac{\pi }{2}}=...............$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 28-02-2013 - 08:33

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#5 YeuEm Zayta

YeuEm Zayta

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Đai Học Dầu Khí Việt Nam
  • Sở thích:Gym

Đã gửi 28-02-2013 - 22:02

Câu 5,e đã từng thấy đâu đó trên diễn đàn,a Đức cko e xin cái link.tks a

                                                                          OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like  29.gif

 


#6 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 565 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-03-2013 - 06:02

Câu 5: Tham khảo tại http://diendantoanho..._20#entry385133

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-03-2013 - 10:28

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#7 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 01-03-2013 - 20:05

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin (x+\frac{\pi}{4})}\ dx}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}\Rightarrow dt=dt$


$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})}{\sin t}\ dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\ dt}$


$I=\frac{1}{2}(1-\ln(\sin t))\: |_\frac{\pi }{4}^{\frac{\pi }{2}}=...............$


Một kĩ thuật nhỏ của dạng tích phân này là có thể xét thêm :

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{cosx}}{{\sin x + \cos x}}dx} \]

#8 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 28-03-2013 - 15:58

 


Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013.
Môn Giải tích.

Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$

Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.

Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau

$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$

Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$

Bài 6. Chọn một trong hai câu.

6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.

6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.

Nhìn sơ sơ thì ra khoảng nhiêu bài, có gì tối về giải nốt:

Bài 1:

a/ Cách cơ bản nhất là cứ xét $f(x)=cosx+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}-1$, đạo hàm cấp 4 là $f^{(4)}(x) \leq 0 \Rightarrow f^{(3)}(x) \leq f(0)$, cứ liên tục như vậy sẽ thu được $f(x) \leq 0$.

b/ (Chưa ra)
Bài 2:

Hiện tại mới nghĩ ra ý tưởng tính giới hạn $xln(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})$ liên tục bằng L'Hospital, hoặc khảo sát hàm số $(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x$ để chứng minh dãy đơn điệu nhưng rất cồng kềnh. Đặt gạch hóng các thánh xử lý nốt bài này. ; ;)

Bài 3:

Ta có $a_3=\frac{1}{2} \geq a_2$ và $a_2 > a_1$. Do đó bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra $a_{n+1} > a_{n}$. Mặt khác, bằng quy nạp ta cũng thấy $a_n<1$. Dãy này tăng và bị chặn nên có giới hạn.

Bài 4:

Ta có:

$\int \frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=-ln(sinx+cosx)$

và $\int \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx=x$

Từ đó suy ra $\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}[x-ln(sinx+cosx)]$.

Bài 5:

Rõ ràng $f(x)=1$ với mọi $x$ không thể thõa mãn bài toán, như vậy tồn tại ít nhất một $x_0$ để $f(x_0) \neq 1$. Thay $y=x_0$ và $x=\frac{2f(x_0)}{f(x_0)-1}$ vào phương trình hàm suy ra $f[\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}]=0$. Như vậy đặt $x_1=\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}$ thì $f(x_1)=0$. Tiếp tục thay $x=0, y=x_1$ vào phương trình hàm suy ra $f(0)=0$.

Với mọi $x \in R$, thay $y=0$ vào phương trình hàm suy ra $f(x)=0$. (đpcm)

Bài 6:

a/ Để ý rằng $\int_{1}^{2}[xf(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt]dx=\int_{1}^{2}f(x)dx=0$ nên theo Lagrange tồn tại $c \in (1,2)$ để $cf( c)+\int_{1}^{c}f(t)dt=0$.

b/ Xét $g(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)$, theo quy tắc L'Hospital (http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule), ta có ngay:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g(x)}{e^{\sqrt{x}}}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g'(x)}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}=0$. (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 28-03-2013 - 16:11


#9 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 04-04-2013 - 10:18

bài 2 : sử dùng các giới hạn cơ bản : $lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^{x}-1}{x}=lna $ và $lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)}{x}=1 $ cả 2 cái này có thể dùng lpt để cm

ta có : 

$lim_{x\rightarrow 0}nln(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}-2}{2}+1)=lim_{x\rightarrow 0}n(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}-2}{2})=lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2} (\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}}+\frac{\sqrt[n]{b}-1}{\frac{1}{n}})=\frac{1}{2}(lna+lnb)=ln\sqrt{ab} $


NGU
Hình đã gửi

#10 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 04-04-2013 - 10:34

Nhìn sơ sơ thì ra khoảng nhiêu bài, có gì tối về giải nốt:

Bài 1:

a/ Cách cơ bản nhất là cứ xét $f(x)=cosx+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}-1$, đạo hàm cấp 4 là $f^{(4)}(x) \leq 0 \Rightarrow f^{(3)}(x) \leq f(0)$, cứ liên tục như vậy sẽ thu được $f(x) \leq 0$.

b/ (Chưa ra)
Bài 2:

Hiện tại mới nghĩ ra ý tưởng tính giới hạn $xln(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})$ liên tục bằng L'Hospital, hoặc khảo sát hàm số $(\frac{\sqrt[x]{a}+\sqrt[x]{b}}{2})^x$ để chứng minh dãy đơn điệu nhưng rất cồng kềnh. Đặt gạch hóng các thánh xử lý nốt bài này. ; ;)

Bài 3:

Ta có $a_3=\frac{1}{2} \geq a_2$ và $a_2 > a_1$. Do đó bằng quy nạp ta dễ dàng suy ra $a_{n+1} > a_{n}$. Mặt khác, bằng quy nạp ta cũng thấy $a_n<1$. Dãy này tăng và bị chặn nên có giới hạn.

Bài 4:

Ta có:

$\int \frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}dx=-ln(sinx+cosx)$

và $\int \frac{sinx+cosx}{sinx+cosx}dx=x$

Từ đó suy ra $\int \frac{sinx}{sinx+cosx}dx=\frac{1}{2}[x-ln(sinx+cosx)]$.

Bài 5:

Rõ ràng $f(x)=1$ với mọi $x$ không thể thõa mãn bài toán, như vậy tồn tại ít nhất một $x_0$ để $f(x_0) \neq 1$. Thay $y=x_0$ và $x=\frac{2f(x_0)}{f(x_0)-1}$ vào phương trình hàm suy ra $f[\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}]=0$. Như vậy đặt $x_1=\frac{2f^2(x_0)}{f(x_0)-1}$ thì $f(x_1)=0$. Tiếp tục thay $x=0, y=x_1$ vào phương trình hàm suy ra $f(0)=0$.

Với mọi $x \in R$, thay $y=0$ vào phương trình hàm suy ra $f(x)=0$. (đpcm)

Bài 6:

a/ Để ý rằng $\int_{1}^{2}[xf(x)+\int_{1}^{x}f(t)dt]dx=\int_{1}^{2}f(x)dx=0$ nên theo Lagrange tồn tại $c \in (1,2)$ để $cf( c)+\int_{1}^{c}f(t)dt=0$.

b/ Xét $g(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)$, theo quy tắc L'Hospital (http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule), ta có ngay:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g(x)}{e^{\sqrt{x}}}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g'(x)}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}=0$. (đpcm)

bài 6a bạn làm rõ hơn đc ko 


NGU
Hình đã gửi




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh