Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên của Đại học FPT năm 2013.
Môn Đại số.
Bài 1.
Tính định thức của ma trận vuông cấp $n$ sau
$\left[ \begin{matrix}
x+{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
{{a}_{1}} & x+{{a}_{2}} & ... & {{a}_{n}} \\
... & ... & ... & ... \\
{{a}_{1}} & {{a}_{2}} & ... & x+{{a}_{n}} \\
\end{matrix} \right]$
Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho $P(x)={{x}^{4}}-(2m+4){{x}^{2}}+{{(m-2)}^{2}}$ là tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc ít nhất là 1.
Bài 3.
Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ có $rank(A)=r.$ Kí hiệu $W$ là không gian các ma trận vuông $X$ cấp $n$ có tính chất $AX=0$. Tính $dimW.$
Bài 4.
Cho $A=\left( {{a}_{ij}} \right)$ là ma trận vuông khác 0 cấp $n$ thỏa mãn ${{a}_{ik}}{{a}_{jk}}={{a}_{kk}}{{a}_{ij}}$ với mọi $i,j,k$. Kí hiệu $tr(A)$, vết của ma trận $A$ là tổng các phần tử trên đường chéo chính của $A.$
a) Chứng minh rằng $tr(A)\ne 0.$
b) Tính đa thức đặc trưng của $A$ theo $tr(A).$
Bài 5.
Một ma trận vuông $A$ được gọi là trực giao nếu $A{{A}^{T}}={{A}^{T}}A=I$ với $I$ là ma trận đơn vị có cùng cấp với $A.$ Cho $A,B$ là các ma trận đơn vị trực giao cùng cấp thỏa mãn điều kiện $\det (A)+\det (B)=0.$ Hỏi có thể kết luận $\det (A+B)=0$ được không?
Bài 6. Chọn một trong hai câu.
6a. Tính ${{\left[ \begin{matrix}
2013 & 2012 \\
2012 & 2013 \\
\end{matrix} \right]}^{n}}$.
6b. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cấp 2. Giả sử ${{A}^{2}}={{B}^{2}}=0$ và $AB=BA.$ Chứng minh rằng $AB=0.$
Môn Giải tích.
Bài 1.
a) Chứng minh rằng với mọi $x$ thì $\cos x\le 1-\frac{{{x}^{2}}}{2!}+\frac{{{x}^{4}}}{4!}$.
b) Chứng minh rằng $\tan (\sin x)>x$ với $x\in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]$
Bài 2.
Cho $a,b$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2} \right)^n=\sqrt{ab}$.
Bài 3.
Cho dãy số $({{a}_{n}})$ được xác định như sau
$\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=0,{{a}_{2}}=\frac{1}{2}, \\
& {{a}_{n}}=\frac{1}{3}\left( 1+{{a}_{n-1}}+a_{n-2}^{3} \right),n>2 \\
\end{align} \right.$
Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 4.
Tính tích phân sau $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.
Bài 5.
Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f\left( x+2f(y) \right)=3f\left( xf(y) \right)$ với $x,y\in \mathbb{R}.$
Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x.$
Bài 6. Chọn một trong hai câu.
6a. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$ và giả sử $\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=0}$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $\theta \in \left( 1;2 \right)$ sao cho $\int\limits_{1}^{\theta }{f(x)dx=\theta }f(\theta )$.
6b. Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $\left( 0;+\infty \right)$ và giả sử $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x)+2\sqrt{x}{f}'(x) \right)=0$.
Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$.