2 replies to this topic

[faraanh]

cho $\left\{\begin{matrix}u_1=\frac{3}{2}\\ u_n-2u_{n+1}=-\frac{n}{n^2+3n+2}\end{matrix}\right.$
xác định số hạng tổng quát của dãy số trên.

[dark templar]

cho $\left\{\begin{matrix}u_1=\frac{3}{2}\\ u_n-2u_{n+1}=-\frac{n}{n^2+3n+2}\end{matrix}\right.$
xác định số hạng tổng quát của dãy số trên.

Xét phép đổi ẩn $u_{n}=\frac{v_{n}}{n+1} \quad \forall n \ge 1$.Khi đó ta có dãy mới là :

\[{\left\{ {{v_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\frac{{{v_n}}}{{n + 1}} - \frac{{2{v_{n + 1}}}}{{n + 2}} = - \frac{n}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
\end{array} \right. \quad \text{Hay} \quad \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\left( {n + 2} \right){v_n} + n = 2\left( {n + 1} \right){v_{n + 1}}
\end{array} \right.\]

Với CTTH của dãy $\{v_{n} \}$,ta thực hiện thêm chút biến đổi để có :
\[\left( {n + 2} \right)\left( {{v_n} - 1} \right) = 2\left( {n + 1} \right)\left( {{v_{n + 1}} - 1} \right)\]

Như vậy,ta sẽ tiếp tục đặt $v_{n}-1=x_{n}$,khi đó :

\[{\left\{ {{x_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\\
{x_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{2\left( {n + 1} \right)}}{x_n}
\end{array} \right.\]

Từ đó :
\[{x_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{x_{n - 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{{{2^2}n\left( {n - 1} \right)}}{x_{n - 2}} = ... = \frac{{n + 1}}{{{2^{n }}}}{x_1} = \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\]

Suy ra :
\[{v_n} = 1 + \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}};\forall n \ge 1.\]

[faraanh]

Xét phép đổi ẩn $u_{n}=\frac{v_{n}}{n+1} \quad \forall n \ge 1$.Khi đó ta có dãy mới là :

\[{\left\{ {{v_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\frac{{{v_n}}}{{n + 1}} - \frac{{2{v_{n + 1}}}}{{n + 2}} = - \frac{n}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
\end{array} \right. \quad \text{Hay} \quad \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\left( {n + 2} \right){v_n} + n = 2\left( {n + 1} \right){v_{n + 1}}
\end{array} \right.\]

Với CTTH của dãy $\{v_{n} \}$,ta thực hiện thêm chút biến đổi để có :
\[\left( {n + 2} \right)\left( {{v_n} - 1} \right) = 2\left( {n + 1} \right)\left( {{v_{n + 1}} - 1} \right)\]

Như vậy,ta sẽ tiếp tục đặt $v_{n}-1=x_{n}$,khi đó :

\[{\left\{ {{x_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\\
{x_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{2\left( {n + 1} \right)}}{x_n}
\end{array} \right.\]

Từ đó :
\[{x_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{x_{n - 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{{{2^2}n\left( {n - 1} \right)}}{x_{n - 2}} = ... = \frac{{n + 1}}{{{2^{n }}}}{x_1} = \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\]

Suy ra :
\[{v_n} = 1 + \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}};\forall n \ge 1.\]

sao phức tạp thế ạ, làm thế này có vẻ đơn giản hơn:
$2u_{n+1}=u_n+\frac{n}{n^2+3n+2}=u_n+\frac{2(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=u_n+\frac{2}{n+1}-\frac{1}{n+1}$ nhìn đến đây chắc cũng thấy đáp án rồi chỉ tiếc là bài này hôn nọ kiểm tra một tiết mà đến hôm nay mới làm ra

Edited by faraanh, 25-02-2013 - 23:27.