Chủ đề này có 1 trả lời

[BlueKnight]

Cho (O) và điểm P cố định trong đường tròn (P$\neq$O). 2 dây AB và CD thay đổi sao cho AB$\perp$CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC,AD.Các đường thẳng EP,FP cắt BD,BC lần lượt tại M,N.
a)Chứng minh 4 điểm M,N,B,P cùng thuộc 1 đường tròn.
b)Chứng minh BD=2EO.
c)Tìm Max,Min của diện tích tứ giác ACBD.
p/s: mọi người giúp mình tìm min của diện tích tứ giác ACBD nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlueKnight: 25-02-2013 - 13:10

[ilovelife]

Cho (O) và điểm P cố định trong đường tròn (P$\neq$O). 2 dây AB và CD thay đổi sao cho AB$\perp$CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC,AD.Các đường thẳng EP,FP cắt BD,BC lần lượt tại M,N.
a)Chứng minh 4 điểm M,N,B,P cùng thuộc 1 đường tròn.
b)Chứng minh BD=2EO.
c)Tìm Max,Min của diện tích tứ giác ACBD.
p/s: mọi người giúp mình tìm min của diện tích tứ giác ACBD nha

Bạn xem qua phần chứng minh 4R^2 = PA^2+PB^2+PC^2+PD^2 tại http://diendan.hocma...ad.php?t=133301
----------
Cách chứng minh của mình:
$PA^2+PB^2+PC^2+PD^2 = \frac {AC^2 + BC^2 + BD^2 + DA^2} 2$
Mà $\widehat{AOC} + \widehat{BOD} = 180^o \implies AD^2 + CB^2 = (2R sin \frac 12 \widehat{AOC})^2 + (2R sin \frac 12 \widehat{BOD})^2 = (2R sin \frac 12 \widehat{AOC})^2 + (2R cos \frac 12 \widehat{AOC})^2=4R^2$
Tương tự cho 2 cạnh còn lại ta có đpcm
 
$$4R^2 = (PA^2+PB^2) + (PC^2+PD^2) \overset{AM-GM}{\ge} \frac {(PA + PB)^2 + (PC+CD)^2}2 = \frac {AB^2 + CD^2} 2 \ge AB \cdot CD = 2S_{ACBD}$$
Đẳng thức xảy ra $\iff AB=CD (\iff ACBD$ là hình thang mà đã là hình thang thì phải là hình thang cân )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 26-02-2013 - 18:08