Chủ đề này có 4 trả lời

[N.V.Minh]

Nguồn :
http://www.math.leid...5/pdf/yadav.pdf
Do trình độ "Inh lích sờ" và toán kém cỏi nên rất mong được mọi người chỉnh sửa dùm

----------------------------------------

BÀI TOÁN KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN

Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn giản :" Phải chăng mọi toán tử liên tục ( ttlt ) T trên 1 kg Hilbert phức đều có một kgcbb không tầm thường (kgcbbktt ) ?" . "Bất biến " có nghĩa là T ánh xạ nó vào chính nó còn "Không gian con không tầm thường (ktt)" có nghĩa là không gian con đóng khác {0} và khác H . Bài toán phát biểu tuy đơn giản nhưng đến nay vẫn còn để ngỏ . Trong trường hợp tổng quát cho các kg Banach , câu trả lời là không . Cũng có một số lớp các ttlt trên kg Hilbert mà đối với chúng , câu trả lời là có ( dĩ nhiên 1 lớp không có nghĩa là tất cả -ND).

Tôi không rõ ai là người đưa ra bài toán (1) . Có lẽ nó xuất hiện sau kết quả cơ bản của Beurling công bố trên Acta . Math năm 1949 về kgcbb của các phép dịch chuyển đơn ( simple shifts) hoặc sau công trình ( không công bố ) của V.Neumann về các toán tử compact .

Lịch sử bài toán

Cho H là một kg Hilbert phức và T là 1 ttlt trên H . Một giá trị riêng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lamb của T xác định một kgcbb của T , đó là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lamb thì mọi kg con là kgcbb ) . Tuy nhiên , không phải ttlt nào cũng có giá trị riêng . Ví dụ , toán tử dịch chuyển trênhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Tx=(0,x_1,x_2,..)
với mỗi vector
Trong cuộc họp thường niên của hội toán học Mỹ ở Toronto năm 1976 , nhà toán học trẻ tuổi người Thụy Điển là Per Enflo đã công bố sự tồn tại của một kg Banach và một ttlt trên nó không có kgcbbktt . Khi đó , ông đang ở thăm trường đại học tổng hợp California ở Berkerley . Nhưng mãi đến năm 1981 , ông mới gửi kết quả này đến tạp chí Acta.Math . Điều đáng tiếc là bài báo đã "được" thẩm định trong hơn 5 năm , mặc dù bản viết tay đã lưu hành rộng rãi trong giới toán học . Theo những người thẩm định , điều này xảy ra là vì bài báo quá khó và trình bày không tốt . Việc thẩm định kết thúc vào năm 1985 và được công bố năm 1987 với một vài sự chỉnh sửa nhỏ nhặt . Tuy nhiên , ông đã trình bày phản ví dụ của mình ở " Xêmina Maurey-Schwarz" ( 195-76) và sau đó là ở học viện Mittag-Leffler ( 1980 )


Trong thời gian này , C.J.Read , theo ý tưởng của Enflo , cũng xây dựng được một phản ví dụ và gửi đến tạp chí Bulletin của hội toán học Luân Đôn . Bài báo nhanh chóng được thẩm đinh và công bố năm 1984 , sau khi đã nhảy cóc qua một dãy những công việc tuần tự . Read cũng đã thu gọn lại chứng minh này và công bố năm 1986 . Ông cũng xây dựng được một ttlt trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 không có kgcbbktt .

Read rất muốn vượt qua Enflo như là người đầu tiên giải quyết bài toán , và nhiều nhà toán học đã đánh giá không công bằng ( với Enflo -ND ) (3) . Nói riêng , cm của Read đã dựa trên các ý tưởng của Enflo . Một vd , nhà toán học Pháp Beauzamy , sau khi phát triển thêm ( sharpen) các kĩ thuật của Enflo cũng đã xây dựng được một vd . Ông trình bày nó tại "xêmina giải tích hàm" của trường đại học Paris 6-7 vào tháng 2 năm 1984 . Nhưng ông đã từ chối công bố kết quả trên Bulletin của hội toán học Luân Đôn , mặc dù các biên tập viên đã gợi ý ông sẽ có sự thuận lợi như Read . Bài báo của Beauzamy công bố muộn hơn vào năm 1985 trên tạp chí " Các phương trình tích phân và lý thuyết toán tử " .

Vd trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 đã được A.M.Davie đơn giản hóa rất nhiều . Có thể tìm thấy nó trong cuốn sách của Beauzamy xuất bản năm 1988 .

Ta không nên nghĩ răng các vd đã biết đều trực tiếp hay gián tiếp dựa trên các kĩ thuật của Enflo . Sự thực , một loạt các bài báo của Read sau bài đầu tiên năm 1984 đã tạo ra những điều sâu sắc cho bài toán . Chẳng hạn phản vd của ông về l^1 năm 1985 khá khác biệt và đơn giản hơn Enflo và có thể coi đó là một thành tựu đáng kể . Một cái khác là bài báo năm 1988 , Read đã xây dưng 1 ttlt trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 không có tập con đóng bất biến ( không nhất thiết là không gian con đóng ) ngoại trừ các trường hợp tầm thường . Đây không những là kết quả mạnh hơn mà nó còn đưa ra một vấn đề mới : Giả sử đến một ngày nào đó bài toán kgcbb có câu trả lời phủ định ( như trường hợp kg Banach ) , ta vẫn có thể đặt câu hỏi " Phải chăng mọi ttlt đều có tập con đóng bất biến không tầm thường "

Dựa trên các kết quả trước đó , vào năm 1997 , Read đã công bố vd về một toán tử liên tục giả lũy linh (quasinilpotent bouded operatorl) , tức là http://dientuvietnam...||T^n||^{1/n}=0 , trên kg Banach không có kgcbbktt . Kết quả đẹp đẽ này được mô tả trong [8]

(mỏi tay quá , để tối nay tiếp tục )
-------------------------------------------------

( 1) : Theo TSKH Đỗ Hồng Tân trong cuốn sách nhỏ " các đl về điểm bất động " thì Banach là người đưa ra bài toán này năm 1930 .
(2) : Đây là kết quả cơ bản của đstt năm 1 .
(3) : Câu này khá chuối , mình chỉ viết theo cách hiểu . Nguyên văn
The temptation on the part of Read to have precedence over Enflo for solving the problem was considered professionally unthical by many mathematicians . ( Read đã có phần bị lôi cuốn bời bài toán trong nỗ lực tìm kiếm lời giải tiên phong, trước Enflo, mà theo nhiều nhà toán học thì đây là một hành động không đúng với tinh thần của khoa học How is that ? )

[N.V.Minh]

Kết quả không công bố của Von Neumann

Von Neumann đã chứng minh ( không công bố ) mọi toán tử compact trên một kg Hilbert đều có kgcbbktt . Năm 1954 , Aronszajn và Smith đã công bố chứng minh đầu tiên cho kết quả này . Sau đó , A.R.Berntein và A.Robinson đã mở rộng kết quả đó cho các toán tử compact đa thức ( polynomially compact operators ) bằng công cụ của giải tích không chuẩn mực (non-standard analysis )(4) do chính Robinson đưa ra . Halmos đã chỉnh sửa lại chứng minh của họ trong khuôn khổ của giải tích chuẩn mực . Rất khôi hài là Pacific Journal of Math đã đăng bài báo của ông và của Berntein-Robinson trong cùng một số . Năm 1967 , Arvenson và Feldman , sử dụng các kĩ thuật của Halmos , đã thu được kết quả trên ở dạng tổng quát hơn : nếu T là một toán tử compact đa thức sao cho đại số đóng đều ( uniformly closed algebra ) sinh bởi T chứa một toán tử compact không tầm thường ( non-zero compact operator ) thì T có kgcbbktt

Kĩ thuật của Lomonosov

Theo một nghĩa nào đó , kết quả của Arveson và Feldman là kết quả không thể tốt hơn trong cách tiếp cận của Neumann . Tuy nhiên , vào năm 1973 , các nhà lý thuyết toán tử đã phải kinh ngạc trước một kết quả rất tổng quát của nhà toán học trẻ tuổi người Nga là V.Lomonosov :

Nếu một toán tử liên tục không vô hướng ( non-saclar bounded operator )(5) giáo hoán với một toán tử compact không tầm thường , thì T có một không gian con siêu bất biến không tầm thường ( non-trivial hyperinvariant subspace) ( có nghĩa là kg này bất biến với mọi ttlt giao hoán với T )

Định lý này rất hấp dẫn vì các lí do sau :

1)Lomonosov đã dùng một kĩ thuật hoàn toàn mới ( ông vận dụng tài tình nguyên lí điểm bất động Shauder (6) ) , rất khác so với cách tiếp cận sau này của nhiều nhà toán học .

Kết quả của ông mạnh hơn nhiều so với điều đã biết : Mọi toán tử compact đa thức đều có kgcbbktt .

3) Kết quả cảu ông đã làm nổi bật một vấn đề mới , cũng ở dạng " Không gian con bất biến " nhưng mạnh hơn , đó là : " Phải chăng mọi ttlt trên kg Hilbert đều có một không gian con siêu bất biến không tầm thường (kgcsbbktt) "

4)Nhiều nhà toán học đã cố gắng thay đổi chứng minh của Lomonosov bằng cách dùng nguyên lí ánh xạ co Banach thay cho nguyên lí Shauder nhưng đl vẫn không suy chuyển cho đến ngày nay . Tuy nhiên , M. Hilden đã cm được một trường hợp riêng của định lí mà không cần dùng bất kì nguyên lí điểm bất động nào . Trường hợp riêng này là : Mọi toán tử compact không tầm thường đều có kgcsbbktt .
Sự thật , Hildel đã giả thiết mọi toán tử compact không tầm thường đều là toán tử giả lũy linh . Điều này không làm giảm tổng quát vì nếu một toán tử compact không tầm thường không phải là giả lũy linh thì nó phải có một giá trị riêng khác 0 , và khi đó không gian riêng ứng với giá trị riêng này sẽ là kgcsbbktt . Tính chất giả lũy linh của toán tử compact không tầm thường đã giúp Hilden hoàn thành chứng minh của mình .

5) Khi ra đời , định lí Lomonosov gây cảm giác rằng nó sẽ dẫn đến câu trả lời khẳng định cho bài toán kgcbb . Nhưng 7 năm sau đó , năm 1980 , Hadvin-Nordgren-Radjavi-Rosenthal đã đưa ra vd về một ttlt không giao hoán với tất cả các toán tử compact không tầm thường .

6) Các mở rộng và ứng dụng của định lí Lomonosov đã được tim ra bởi một số nhà toán học .

--------------------------------------------------------------------
Chú thích của bài báo :

Một toán tử T trên kg Banach X gọi là compact nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành tập hoàn toàn bị chặn . T gọi là ' compact đa thức ' nếu tồn tại đa thức P sao cho P(T) là toán tử compact . Dĩ nhiên mọi toán tử compact đa thức là compact nhưng ngược lại nói chung không đúng .

4) Về giải tích không mẫu mực , có thể xem ở
http://diendantoanho...?showtopic=7687

5) T không vô hướng có nghĩa là dim(ImT)>1

6) Nguyên lí Shauder nói rằng mọi ax liên tục từ một tập lồi , compact trong kg định chuẩn vào chính nó đều có điểm bất động . Xem cm và mở rộng trong cuốn của TSKH Đỗ Hồng Tân hoặc cuốn của Edward .

Còn nữa

[N.V.Minh]

Về các toán tử chuẩn tắc ( normal operator ) cũng như không chuẩn tắc ( non-...)

Một ttlt T trên kg Hilbert H gọi là chuẩn tắc nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp (adjoint operator) T* . Nó gọi là gần chuẩn tắc ( subnormal ) nếu nó chẩn tắc trên một kgcbb và gọi là dưới chuẩn tắc (hyponormal) nếu ||T*x|| ||Tx|| x H . Dễ thấy "chuẩn tắc" -->"gần chuẩn tắc" --> "dưới chuẩn tắc" nhưng ngược lại không phải lúc nào cũng cũng đúng . Một kết quả quan trọng trong lý thuyết toán tử , được biết như định lí Fuglede , nói rằng nếu T là toán tử chuẩn tắc và S là ttlt thỏa mãn TS=ST , thì T*S=S*T .

Định lý Fuglede ngụ ý rằng mọi toán tử chuẩn tắc không vô hướng đều có kgcsbbktt . Việc tìm kgcsbbktt của các toán tử không chuẩn tắc thỏa mãn một số điều kiện đẹp đã là một công việc hấp dẫn đối với nhiều nhà lý thuyết toán tử . Một kết quả lý thú bậc nhất trong lĩnh vực này là của Scot Brown . Năm 1978 , ông đã chứng minh mọi toán tử gần chuẩn tắc đều có kgcsbbktt . Năm 1986 , J.E.Thomson tìm được một chứng minh đơn giản và đẹp đẽ cho kết quả của Brown . Xét kg Hilbert http://dientuvietnam...metex.cgi?L^2(m) . ( Một ttlt T trên kg Hilbert H gọi là xiclic nếu x H sao cho bao tuyến tính (span) của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{\infty}(m) chứa z và H là một không gian con củahttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{e_n\}_{0}^{\infty} là cơ sở trực chuẩn ( orthonormal basis )của H . Toán tử U trên H thỏa mãn http://dientuvietnam...gi?Ue_n=e_{n 1} gọi là toán tử tiến ( foward shift operator) . Bằng vài tính toán đơn giản , ta có toán tử liên hợp của nó , kí hiệu là S ( lẽ ra phải kí hiệu là U*-ND) là toán tử lùi ( back operator ) xác định bởi http://dientuvietnam...imetex.cgi?m©=1 ) . Với mỗi n nguyên , nếu ta đặt http://dientuvietnam...i?e_{n}=e_{n}(z)=z^n thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{e_n\}_{-\infty}^{+\infty} là một cơ sở trực chuẩn của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?L^2 . Kg Hardy http://dientuvietnam...mimetex.cgi?H^2 là kg con đóng của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?L^2 sinh bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{e_n\}_{0}^{+\infty} . Ta có thể thấy phép nhân theo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_{1}(z)=z chính là U (10).

+Vd thứ hai , xét kg Hilbert http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l^2 các số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=(x_0,x_1,x_2,..) bình phương khả tổng . Khi đó , S và U trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l^2 có dạng : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Ux=(0,x_0,x_1,..) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Sx=(x_1,x_2,...) .

Định lí Beurling và các biến thể

Năm 1949 , Beurling đã mô tả đặc trưng của kgcbb của toán tử dịch chuyển trên kg Hardy H^2 :

Nếu M là kgcbb của toán tử dịch chuyển trên kg Hardy H^2 thì tồn tại một hàm trong ( inner function)http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|\phi(z)|=1 hầu khắp nơi ( almost everywhere )) sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M=\phi.H
Ngoài ra , nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{\phi_1}{\phi_2} là hàm hằng hầu khắp nơi .

Định lí Beurling đã cho thấy một mối liên hệ giữa lí thuyết hàm và lý thuyêt toán tử , do đó nhiều biến thể của đl đã xâm nhập vào cả giải tích điều hòa ( harmonic analysis) lẫn giải tích hàm . Ba xu hướng chính là :
1) Thay kg Hardy các hàm giá trị vô hướng bằng kg Hardy các hàm vector .
2)Mở rộng định lí đặc trưng Beurling cho kg Hardy các hàm giá trị vô hướng trên một hình xuyến .
3)Xem xét (1) và (2) , cho cả trường hợp hàm vector mà Halmos ( 1961 ) và những người khác đã đưa ra , trong khuôn khổ tổng quát hơn dựa trên quan điểm của Branges (12).

---------------------------------------------------
7)Đại số ở đây được hiểu là đại số các ttlt trên L^
8)Về phương diện đại số , L^2 là kg con của L^ . Do đó đl là có nghĩa .
9)Đây là điều hiển nhiên . Nó có nghĩa là khi nào toán tử T chỉ có kgcbb tầm thường .
10) Kết quả này đã được phát triển lên rất nhiều : Mọi toán tử chuẩn tắc đều có mô hình như vậy trên kg http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^2 . Xem mọi cuốn sách về đại số toán tử
11,12 : Có thể tìm trong các sách về giải tích điều hòa . Đặc biệt , trong cuốn sách về các kg Bergman của Hedenmalm , Shzu .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 20-12-2005 - 17:48

[N.V.Minh]

Các phép dịch chuyển mạnh ( Weighted shifts)

Các phép dịch chuyển là một lớp toán tử rất quan trọng . Có thể coi chúng như là các " hạt cơ bản " (13) trong lí thuyết toán tử . Nhiều toán tử quan trọng , theo một nghĩa nào đó , chỉ là các phép dịch chuyển được "tân trang" mà thôi . Chẳng hạn như phép đẳng cự tuyến tính là tổng trực tiếp (..) của các phép dịch chuyển , hay mọi phép co với các lũy thừa hội tụ mạnh tới 0 chỉ là "một phần" của phép lùi .

Quan trọng hơn , các phép dịch chuyển là nguồn gốc của nhiều phản vd . Chẳng hạn Read đã sử dụng một phép dịch chuyển trong cách xây dựng phản vd về một ttlt trên một kg Banach không có kgcbbktt .

Cho một kg Hilbert H với cơ sở trực chuẩn (..) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{e_n\}_{0}^{+\infty} và một dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w=\{w_n\}_{1}^{+\infty} các số phức khác 0 . Xét phép tiến mạnh http://dientuvietnam...mimetex.cgi?T_w :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n=0,1,2,...
Và phép lùi mạnh http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_w tương ứng :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{w}e_0=0
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{w}e_n=w_{n}e_{n-1} , http://dientuvietnam...x.cgi?n=1,2,...

Dễ thấy toán tử liên hợp của phép tiến mạnh là phép lùi mạnh . Lưu ý rằng , kg con M là kgcbb của một toán tử T khi và chỉ khi phần bù trực giao (...) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M^{\perp} là kgcbb của T* . Do đó , việc xác định http://dientuvietnam...tex.cgi?Lat(S_w) tương đương với việc xác định http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Lat(T_w) .

Kí hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_n là kg con đóng sinh bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{e_0,e_1,e_2,...,e_n\} , thế thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_n{\in}Lat(S_w) với mọi n . Với các điều kiện sau đây đặt lên dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w , ta có thể chứng minh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Lat(S_w) chỉ gồm các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_n:
Nếu dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}w=\{w_n\}_{n=1}^{+\infty} thoả mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\blue\{|w_n|\} là dãy đơn điệu giảm và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}Lat(S_w) là các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}M_n

Kết quả này là của N.K.Nikolskii (1965) . Trường hợp riêng khi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w_n=\dfrac{1}{2^n} được Donoghue tìm ra năm 1957 .

Các toán tử tích phân (tttp) Volterra

Tttp Volterra V xác định trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{2}(0,1) bởi công thức
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(Vf)(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt ; http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0{\leq}x{\leq}1 ; http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f{\in}L^{2}(0,1) .
Các kgcbb của loại toán tử này cũng đã được đặc trưng hóa . Với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\alpha{\in}[0,1] , xét :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_\alpha{\in}Lat(V) với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{2}(0,1) là thực , là của Dixmier ( 1949 ) .Năm 1957 , Donoghue và Brodskii độc lập với nhau đã chứng cho trường hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{2}(0,1) là kg phức .

Các kết quả trên đã được mở rộng cho trường hợp tttp K trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{2}(0,1) xác định bởi :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0{\leq}x{\leq}1 , http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f{\in}L^{2}(0,1) , trong đó k(x,y) là hàm bình phương khả tích trên [0,1]x[0,1] (15) . Đặc trưng của Lat(K) trong trường hợp này thường được dùng để thu được một chứng minh giải tích cho định lí đối hợp ( convolution theorem) nổi tiếng của Titchmarsh ( 1962 ).

Mô hình các toán tử của Rota

Ta hiểu " một phần" của ttlt T trên một kg Hilbert H là thu hẹp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T|_M với M là kgcbb của T .

Kí hiệu l^{2}(H) là kg Hilbert các dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=(x_0,x_1,x_2,....) với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w=(w_n) các số thực dương . Phép lùi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_w trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?l^{2}(H) xác định bởi :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{/beta}_{0}=1 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\beta}_{n}=w_{1}w_{2}...w_n với n 1 . Ta có kết quả sau :

Giả sử T là một ttlt trên H và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_w theo nghĩa sau : Xác định http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}A:H->l^{2}(H) bởi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}S_{w}A=AT
Điều này ngụ ý M là kgcbb của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}S_w và T tương tự như http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}S|_{M}

Nếu bán kính phổ ( spectral radius) của T :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r(T)=lim(||T^{n}||^{2})^{1/n}
nhỏ hơn 1 thì các điều kiện trên được thỏa mãn cho trường hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w_{n}=1{\forall}n . Nhận xét này dựa trên kết quả của Rota (1960)

Nếu một ttlt T trên kg Hilbert H có bán kính phổ r(T)<1 thì T tượng tự như một phần của phép lùi mẫu mực ( standard backward shift ) trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?{\blue}l^{2}(H) . Nói riêng , điều này đúng cho các phép co thực sự , tức là nếu ||T||<1.

Từ việc một ttlt có thể "cắt gọt" để trở thành một phép co thực sự , các công trình của Rota sau này đã dẫn đến bài toán kgcbb ( thực ra chỉ là ở dạng kgcbb - ND) :
"Phải chăng kgcbb khác 0 nhỏ nhất của một toán tử lùi là kg 1 chiều ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Nếu cần chi tiết hơn về các phép dịch chuyển , xem chẳng hạn chương 26 bộ " Clasess of linear operator " của Gohberg , Golderg .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 20-12-2005 - 17:42

[crespo]

Cám ơn bạn vì bài viết hay. Mình có 1 câu hỏi nhỏ thế này.

Về không gian con bất biến của 1 họ toán tử hữu hạn chiều (nói cách khác là 1 toán tủ phụ thuộc tham số) thì có không gian con bất biến chung không?

Hoặc giả bạn có biết 1 bài báo nào đó về chủ để này chăng?

Thanks.