Chủ đề này có 4 trả lời

[caokhanh97]

Cho a,b,c > 0 và $a^{2} + b^{2}+ c^{2} =1$. Tìm GTNN của $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c}$

[duong vi tuan]

nhận xét đối với điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$ thì ta có cái bdt quen thuộc sau đây :$x(1-x^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ dấu = xảy ra khi $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ - các bạn có thể dùng cô si hoặc khảo sát để cm bdt trên .
$\frac{1}{1-a}=\frac{1+a}{1-a^2}=\frac{1}{1-a^2}+\frac{a}{1-a^2}$
$\sum \frac{1}{1-a^2}=\sum \frac{1}{b^2+c^2}\geq \frac{(1+1+1)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$
áp dụng bát đẳng thwucs ở trên ta có :
$\sum \frac{a}{1-a^2}=\sum \frac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
các bạn kiểm tra thử nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 26-02-2013 - 09:54

[nthoangcute]

Cho a,b,c > 0 và $a^{2} + b^{2}+ c^{2} =1$. Tìm GTNN của $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c}$

Ta có BĐT sau:
$$\frac{1}{1-a} \geq \frac{3(3+2\sqrt{3})}{4}a^2+\frac{3}{4}$$
(tự chứng minh)
Suy ra đpcm.

[nthoangcute]

Cho a,b,c > 0 và $a^{2} + b^{2}+ c^{2} =1$. Tìm GTNN của $\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c}$

Chém thêm cách nữa:
Cần tìm min
$$f(a,b,c)=\frac{1}{1-\sqrt{a}} + \frac{1}{1-\sqrt{b}} + \frac{1}{1-\sqrt{c}}$$
với $a+b+c=1$
TH1: Trong 3 số $a,b,c$ có một số $\in \left(0,\frac{1}{9} \right)$. Không mất tính tổng quát, giả sử số đó là $a$
Khi đó $b,c \in \left [\frac{1}{9},1 \right)$.
Xét hàm $g(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x}}$. Khi đó $g'(x)=\frac{1}{2(1-\sqrt{x})^2 \sqrt{x}}>0$
Ngoài ra $g''(x)=\frac{ x-3x^{3/2}}{4 (\sqrt{x}-1)^3 x^{5/2}}$
Suy ra $f(a,b,c) \geq f\left(0,b,c \right)$ (tức là khi $a=0$ thì luôn có cái này)
Khi $a=0$ thì $b+c=1$ nên $$f(0,b,c) \geq f \left(0,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right)=f \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)=5+2\sqrt{2}$$
Tóm lại là $$f(a,b,c)>f \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$$
TH2: Trong 3 số $a,b,c$ có hai số $\in \left(0,\frac{1}{9} \right)$. Không mất tính tổng quát, giả sử 2 số đó là $a$ và b
Khi đó $c \in \left [\frac{1}{9},1 \right)$
Tương tự TH1 ta được:
$$f(a,b,c)>f \left(0,\frac{1}{9},\frac{8}{9} \right)=\frac{23}{2}+6\sqrt{2}$$
TH3: Cả 3 số $a,b,c \in \left(0,\frac{1}{9} \right)$
Vô lý do $a+b+c=1$
TH4: Cả 3 số $a,b,c \in \left [\frac{1}{9},1 \right)$
Khi đó theo $Jen-sen$ thì $$f(a,b,c) \geq f \left (\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-02-2013 - 14:00

[ilovelife]

[deleted] Mod xóa hộ em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 26-02-2013 - 15:05