4. Tìm n nguyên dương để $n-11$ và $ n+16$ là lập phương của 2 số nguyên dương.
Không chắc lắm
-------------------------------
Đặt $n-11=a^3$ và $n+16=b^3$ $(a,b\in \mathbb{Z}^+)$
Dễ thấy $a-b<0.$
Ta có:
$a^3-b^3=n-11-n-16$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=-27$
Ta có: $a-b<0$ và $a^2+ab+b^2>0$
Nên chỉ xét các trường hợp:
$\bullet \left\{\begin{matrix} a-b=-1\\ a^2+ab+b^2=27 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bullet \left\{\begin{matrix} a-b=-3\\ a^2+ab+b^2=9 \end{matrix}\right.$
$\bullet \left\{\begin{matrix} a-b=-9\\ a^2+ab+b^2=3 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bullet \left\{\begin{matrix} a-b=-27\\ a^2+ab+b^2=1 \end{matrix}\right.$
Lại có: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2<a^2+ab+b^2$ $($Do $a,b\in \mathbb{Z}^+)$
Do đó chỉ còn lại trường hợp $\left\{\begin{matrix} a-b=-1\\ a^2+ab+b^2=27 \end{matrix}\right.$
Ta có:
$a^2+ab+b^2=27$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+3ab=27$
Mà $(a-b)^2=1$ $($Do $a-b=-1)$
Nên $3ab=26,$ mà $a,b\in \mathbb{Z}^+,$ $26$ không chia hết cho $3$ nên không có giá trị $a,$ $b,$ nào thỏa mãn.
Vậy không có số nguyên dương $n$ nào để $n-11$ và $ n+16$ là lập phương của $2$ số nguyên dương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 26-02-2013 - 21:17