Chủ đề này có 1 trả lời

[thangnhoc9x]

cho đường tròn (O) dây BC cố định. tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại N. điểm A di động trên cung lớn BC. vẽ dây AM của đường tròn (O) sao cho AM song song với BC. MN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. CM AK luôn đi qua một điểm cố định

[mathprovn]

Ta có ON là đường trung trực của BC nên ON vuông góc tại trung điểm H của BC. H cố định.
$AM // BC, ON \bot BC \Rightarrow HO \bot AM \Rightarrow$ HO là đường trung trực của AM (định lí đk và dây).
$\Rightarrow \widehat{AHO} = \widehat{OHM} (1)$
$\Delta CNM$ đồng dạng với $\Delta KNC$ nên $NC^2 = NK. NM$ (2)
$\Delta CNO$ vuông tại C có đường cao CH nên: $NC^2 = NH.HO $(3)
(2), (3) suy ra: $NK. NM = NH. NO$. Suy ra: $\Delta NHK$ đồng dạng $\Delta NMO$
Suy ra: $\widehat{NHK} = \widehat{NMO}$
Do đó OHKM nội tiếp. Suy ra: $\widehat{OHM} = \widehat{OKM} = \widehat{OMK} = \widehat{NHK} (4) $
(1), (4) suy ra: $\widehat{KHN} = \widehat{AHO}$
Suy ra K, H, A thẳng hàng.
Vậy AK luôn đi qua trung điểm H của BC cố định