tính các góc của tam giác ABC, thỏa: $\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C=4$
#1
Đã gửi 28-02-2013 - 23:18
$\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C=4$
2. tam giác ABC thỏa
$\cos A+\cos B+\cos C=2(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
chứng minh tam giác ABC đều
cám ơn các bạn nhiều!
i can't,
but we can!!!
#2
Đã gửi 01-03-2013 - 01:21
Có rất nhiều cách làm,ở đây mình sử dụng phương pháp vector,phương pháp thường dùng để chứng minh các BDT liên quan đến hàm cos1. tính các góc của tam giác ABC, thỏa:
$\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C=4$
2. tam giác ABC thỏa
$\cos A+\cos B+\cos C=2(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
chứng minh tam giác ABC đều
cám ơn các bạn nhiều!
1.Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC,bán kính r,Gọi M,N,P là các tiếp điểm của (I,r) với CA,AB,BC
Ta có $0\le (\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP})^2=8r^2+2(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}+2\sqrt{3}\overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IM})$
Mà $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=r^2.cos \widehat{MIN}=-r^2.cosA$(vì $\widehat{MIN}$ và $\widehat{A}$ là 2 góc bù nhau)
Suy ra:
$0\le 8r^2-2r^2(\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC)=>\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C\le 4$
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0}=>\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})^2=(2\overrightarrow{IP})^2 \\
(\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=3IM^2
\end{matrix}\right.$
$=>\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=0,\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}=\frac{-1}{2}$
Từ đó suy ra $\widehat{A}=90^o,\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=30^o$
2.Xét $0\le (\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{IP})^2=3r^2-2r^2(cosA+cosB+cosC)$
$=>cosA+cosB+cosC\le \frac{3}{2}$
$=>(cosA+cosB+cosC)^2\le \frac{3}{2}(cosA+cosB+cosC)$
Từ giả thiết suy ra $(cosA+cosB+cosC)^2\le 3(\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A)$
$=>(cosA-cosB)^2+(cosB-cosC)^2+(cosC-cosA)^2\le 0$
$=>cosA=cosB=cosC=>...!$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 01-03-2013 - 01:27
#3
Đã gửi 01-03-2013 - 14:36
Cách khác:Có rất nhiều cách làm,ở đây mình sử dụng phương pháp vector,phương pháp thường dùng để chứng minh các BDT liên quan đến hàm cos
1.Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC,bán kính r,Gọi M,N,P là các tiếp điểm của (I,r) với CA,AB,BC
Ta có $0\le (\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP})^2=8r^2+2(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}+2\sqrt{3}\overrightarrow{IP}.\overrightarrow{IM})$
Mà $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=r^2.cos \widehat{MIN}=-r^2.cosA$(vì $\widehat{MIN}$ và $\widehat{A}$ là 2 góc bù nhau)
Suy ra:
$0\le 8r^2-2r^2(\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC)=>\sqrt{3}\cos A+2\cos B+2\sqrt{3}\cos C\le 4$
Đẳng thức xảy ra khi $\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{0}=>\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{3}\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})^2=(2\overrightarrow{IP})^2 \\
(\overrightarrow{IN}+2\overrightarrow{IP}=3IM^2
\end{matrix}\right.$
$=>\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IN}=0,\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{IP}=\frac{-1}{2}$
Từ đó suy ra $\widehat{A}=90^o,\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=30^o$
Đặt $\vec{e_1}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB},\vec{e_2}=\frac{\overrightarrow{BC}}{BC},\vec{e_3}=\frac{\overrightarrow{CA}}{CA}$
$\Rightarrow \left | \vec{e_1} \right |=\left | \vec{e_2} \right |=\left | \vec{e_3} \right |=1$ và $\vec{e_1}\vec{e_2}=-cosB,\vec{e_2}\vec{e_3}=-cosC,\vec{e_3}\vec{e_1}=-cosA$
Lại có:
$$\left ( \vec{e_1}+2\vec{e_2} +\sqrt{3}\vec{e_3}\right )\geq 0 (*)$$
Khai triển (*) và vận dụng những giả thiết ở trên thì ta được:
$$\sqrt{3}cosA+2cosB+2\sqrt{3}cosC\leq 4$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \vec{e_1}+2\vec{e_2}=-\sqrt{3}\vec{e_3} & & \\ \vec{e_1}+\sqrt{3}\vec{e_3}=-2\vec{e_2} & & \\ 2\vec{e_2}+\sqrt{3}\vec{e_3}=-\vec{e_1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=60^{\circ} & & \\ A=90^{\circ}& & \\ C=30^{\circ}\end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 01-03-2013 - 17:02
- dark templar và N H Tu prince thích
-----------------------------------------------------
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh