Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 21 - Bất đẳng thức


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 01/03/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 21 có 16 toán thủ nên sẽ có 3 toán thủ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác chứng minh bất đẳng thức sau
$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$
Đề của davildark

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
Bài làm của toán thủ đã bị loại doandat97 @@

BĐT cần chứng minh là:


$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$ (*)


$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 1+\frac{a}{2b+a}+1+\frac{b}{2c+b}+1+\frac{c}{2a+c}$


$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b+c}{2b+a}-\sum\frac{a}{2b+a}\ge 2$


$\Leftrightarrow \sum \frac{b+c}{2b+a}\ge 2$


$\Leftrightarrow \sum (\frac{b+c}{2b+a}-\frac{1}{3})\ge 1$


$\Leftrightarrow \sum \frac{b+c-a+2c}{2b+a}\ge 3$


$\Leftrightarrow \sum \frac{b+c-a}{2b+a}+\sum \frac{2c}{2b+a}\ge 3$


Theo bđt Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{c}{2b+a}=\sum\frac{c^{2}}{2ab+ac}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}\ge1$


$\Rightarrow \sum \frac{2c}{2b+a}\ge2$

Ta cần chứng minh

$\sum \frac{b+c-a}{2b+a}\geq 1$


Vì $a,b,c$ là 3 cạnh 1 tam giác nên

$a+b-c>0$


$b+c-a>0$


$c+a-b>0$


Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{b+c-a}{2b+a}=\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2b^{2}-a^{2}-ab+2bc+ac}\ge \frac{[(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)]^{2}}{\sum(2b^{2}-a^{2}-ab+2bc+ac) }=\frac{(a+b+c) ^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1$


vậy ta có đpcm


Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

_____________________

#4
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác chứng minh bất đẳng thức sau
$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$
Đề của davildark

Lời giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$\frac{2(a+b)-(a+b+c)}{2b+a}+\frac{2(b+c)-(a+b+c)}{2c+b}+\frac{2(a+c)-(a+b+c)}{2a+c}\leq 1$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a+b-c}{2b+a}\leq 1$

$(a+b-c,b+c-a,c+a-b)\rightarrow (z,x,y)$. Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên $x,y,z$ dương
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\frac{z}{2x+y+3z}+\frac{x}{3x+2y+z}+\frac{y}{3y+2z+x}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng BDT quen thuộc $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta có:

$\frac{z}{2x+y+3z}=\frac{z}{(x+y+z)+(2z+x)}\leq \frac{1}{4}(\frac{z}{x+y+z}+\frac{z}{2z+x})$

Thiết lập các BDT tương tự và chú ý: $\sum \frac{z}{x+y+z}=1$ ta cần chứng minh:

$\frac{z}{2z+x}+\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2z+x}+\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}\geq 1$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz :

$\frac{x}{2z+x}+\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}=\sum \frac{x^2}{2zx+x^2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum (2xz+x^2)}=1$

Từ đây có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Nhận xét : Bài làm tốt,trình bày đầy đủ và sạch sẽ. Nhưng còn thiếu việc tính toán các biến số $a,b,c$ theo $x,y,z$.
Điểm :9/10.

S = 25 + 3*9 = 52

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 20:40
Chấm bài

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác chứng minh bất đẳng thức sau
$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$
Đề của davildark

Ta có thể viết lại bất đẳng thức thành:
$$\frac{a+b-c}{2b+a}+\frac{b+c-a}{2c+b}+\frac{a+c-b}{2a+c}\leq 1 (i)$$
Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên the0 phép thế Ravi tồn tại $x,y,z>0$ thỏa mãn $a=y+z,b=x+z,c=x+y$. Bất đẳng thức trở thành:
$$\frac{x}{3x+2y+z}+\frac{y}{3y+2z+x}+\frac{z}{3z+2x+y}\leq \frac{1}{2}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$$\frac{x}{(2x+y)+x+y+z}\leq \frac{1}{4}.\left(\frac{x}{2x+y}+\frac{x}{x+y+z}\right)$$
Tương tự và cộng lại, để ý $\sum \frac{x}{x+y+z}=1$ thì ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow \frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\geq 1$$
Bất đẳng thức cuối này luôn đúng the0 $Cauchy-Schwarz$:
$$\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum y(2x+y)}=1$$
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z$ hay $a=b=c$ $\blacksquare$

Nhận xét : Bài làm có trình bày vắn tắt ở (i) và không có chú thích thêm về phép thế Ravi (chứng minh hay khẳng định nó).
Điểm :8/10.
S = 24 + 8*3 + 10 = 58

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 20:45
Chấm bài

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Mở rộng :
Ta sẽ chứng minh bài toán tr0ng trường hợp rộng hơn, tức $a,b,c$ là các số thực dương:
Biến đổi lại bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{b-a-c}{2a+c}+\frac{c-a-b}{2b+a}+\frac{a-b-c}{2c+b}\geq -1$$
$$\Leftrightarrow \frac{b-a-c}{2a+c}+1+\frac{c-a-b}{2b+a}+1+\frac{a-b-c}{2c+b}+1\geq 2$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{2a+c}+\frac{b+c}{2b+a}+\frac{c+a}{2c+b}\geq 2$$
Điều này hiển nhiên đúng the0 bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$:
$$\frac{a+b}{2a+c}+\frac{b+c}{2b+a}+\frac{c+a}{2c+b}\geq \frac{(a+b+b+c+c+a)^2}{\sum (a+b)(2a+c)}$$
$$=\frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=2$$
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ $\square$

Điểm mở rộng : 10.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-03-2013 - 18:27

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác chứng minh bất đẳng thức sau
$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$
Đề của davildark

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$ \frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}+\frac{b+c}{2b+a}+\frac{c+a}{2c+b}+\frac{a+b}{2a+c}+1\geq 3+\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}$
<=> $ \frac{b+c}{2b+a}+\frac{c+a}{2c+b}+\frac{a+b}{2a+c}\geq 2$
<=> $ \sum \frac{(b+c)^2}{(2b+a)(b+c)}\geq 2$ $(1)$
Nhưng theo Cauchy-Schwarz dạng Engel thì bất đẳng thức này hiển nhiên đúng :
$ VT (1)\geq \frac{(2(a+b+c))^2}{\sum (2b+a)(b+c)}=\frac{4(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=2$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ $ \square$

Nhận xét : Bài làm trình bày tốt,sạch sẽ và ngắn gọn. Đây cũng là cách giải dành cho trường hợp $a,b,c>0$.
Điểm :10/10.

S = 23 + 10*3 = 53

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 20:48
Chấm bài

Hình đã gửi


#8
nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
Ta có $\frac{a+b}{2b+a}=1-\frac{b}{2b+a}$
Nên bất đẳng thức đã cho có thể viết lại thành
$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+\frac{2b}{2b+a}+\frac{2c}{2c+b}+\frac{2a}{2a+c}\geq 5$
$\Leftrightarrow \frac{3a+b+c}{2a+c}+\frac{3b+c+a}{2b+a}+\frac{3c+a+b}{2c+b}\geq 5$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{2a+c}+\frac{b+c}{2c+a}+\frac{c+a}{2c+b}\geq 2$
Bất đăng thức này đúng vì
$\frac{a+b}{2a+c}+\frac{b+c}{2c+a}+\frac{c+a}{2c+b}$
=$fr\ac{(a+b)^{2}}{(2a+c)(a+b)}+\frac{(b+c)^{2}}{(2b+a)(b+c)}+\frac{(c+a)^{2}}{(2c+b)(c+a)}$
$\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{(2a+c)(a+b)+(2b+a)(b+c)+(2c+b)(c+a)}$ (bất đẳng thức svacxo)
=2
ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Nhận xét : Bài làm trình bày còn lỗi Latex.
Điểm :9/10.

Toán thủ đã bị loại ở trận 19

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 21:04
Chấm bài


#9
gogo123

gogo123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
Trở lại VMF,máy hỏng ra net làm vài ván CS rùi làm Mo luôn. :icon6:
Đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (y+z,z+x,x+y) \quad (i)$. (với $x,y,z \geq 0$)
VT$=2(x+y+z)\left ( \frac{1}{y+2x+3z}+ \frac{1}{z+2y+3x} +\frac{1}{x+2z+3y}\right )+1$
VP$=2\left (\frac{y+x+2z}{y+2x+3z}+ \frac{x+y+2x}{z+2y+3x} +\frac{x+z+2y}{x+2z+3y} \right )$
Lấy vế phải trừ vế trái ta được BDT tương đương:
$\frac{1}{2}\geq \frac{z}{y+2x+3z}+ \frac{x}{z+2y+3x} +\frac{y}{x+2z+3y}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{3}-\frac{z}{y+2x+3z})+ (\frac{1}{3}-\frac{x}{z+2y+3x}) +(\frac{1}{3}-\frac{y}{x+2z+3y})\geq \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{2x+y}{y+2x+3z}+ \frac{2y+z}{z+2y+3x} +\frac{2z+x}{x+2z+3y}\geq \frac{3}{2}$ (*)
Áp dụng BĐT C-S ta có:
VT(*)$= \frac{(2x+y)^2}{(2x+y)(y+2x+3z)}+ \frac{(2y+z)^2}{(2y+z)(z+2y+3x)} +\frac{(2z+x)^2}{(2z+x)(x+2z+3y)}\geq \frac{3}{2}$
$\geq \frac{9(x+y+z)^2}{5\sum x^2+13\sum xy}$
Mặt khác
$x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\Rightarrow \frac{6(x+y+z)^2}{5\sum x^2+13\sum xy}\geq 1 \quad (ii)$
Suy ra
VT(*)$\geq \frac{3}{2}\Rightarrow $ đpcm.

Nhận xét : Giải thích rõ chỗ đổi biến (i) (phép thế Ravi ).Chỗ (ii) còn làm hơi tắt. Bài làm trình bày nhìn chung còn chưa đẹp lắm.
Điểm : 8/10.

S = 12 + 8*3 = 36

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 20:52
Ghi điểm

LKN-LLT


#10
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác chứng minh bất đẳng thức sau
$$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$$
Đề của davildark


Ta có:
$(a+b+c)(\frac{1}{2a+c}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2c+b})+1\geq 2(\frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c})$
$\Leftrightarrow \frac{b}{2a+c}+\frac{c}{2b+a}+\frac{a}{2c+b}+1\geq \frac{a+b}{2b+a}+\frac{b+c}{2c+b}+\frac{a+c}{2a+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b-c}{2b+a}+\frac{b+c-a}{2c+b}+\frac{a+c-b}{2a+c}\leq 1$ (1)

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z \quad (i)$

Khi đó (1) trở thành
$\sum \frac{3x-y-z}{3x+y-z}\leq 1$
$\Leftrightarrow \sum (1- \frac{3x-y-z}{3x+y-z})\geq 2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{2y}{3x+y-z}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{y^2}{3xy+y^2-zy}\geq 1$

Sử dụng bđt C-S ta có ngay
$\Leftrightarrow \sum \frac{y^2}{3xy+y^2-zy}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)}=1 \quad (ii)$

Vậy BĐT được chứng minh dấu = xảy ra khi x=y=z; a=b=c.

Nhận xét : Chỗ (ii) chưa tính toán các biến $a,b,c$ theo $x,y,z$.Chỗ (ii) không có dấu tương đương ở đầu dòng.
Điểm : 8.5/10

S = 2 + 3*8.5 = 27.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 09-03-2013 - 20:53
Ghi điểm

Hình đã gửi


#11
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#12
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Mình đã được anh Thế phân công làm trọng tài cho trận này. Dưới đây là chút nhận xét bài làm của các toán thủ :
  • Vì đây là 1 BĐT thuộc loại dễ nên mình sẽ chấm khắt khe ở khoản trình bày bài giải và gõ Latex.
  • Có lẽ vì đây là 1 BĐT dễ nên đã xuất hiện nhiều cách biến đổi khác nhau và các cách Cauchy-Schwarz khác nhau.Nhưng nhìn chung không toán thủ nào,ngoại trừ Whjte Shadow có nhận xét mở rộng rằng bài toán vẫn đúng trong trường hợp $a,b,c>0$;mặc dù cách biến đổi BĐT của toán thủ doxuantungnguyenthehoan đã cho thấy rõ rằng điều kiện cạnh tam giác chỉ là thừa. :)
  • Có 2 toán thủ,cụ thể là Whjte Shadow vào gogo123 , đã sử dụng đến phép thế Ravi mà hoàn toàn không giải thích và chứng minh gì thêm tại sao lại có điều kiện $x,y,z >0$ khi đặt như vậy. Nên nhớ rằng phép thế này cũng giống như đặt $x=a+b-c;...$ nhưng với cách đặt như trên thì ta không cần giải thích gì thêm cho điều kiện $x,y,z>0$ (do $a,b,c$ đã là cạnh tam giác).
  • Một số toán thủ khi đặt $x=a+b-c;...$ thì lại không tính toán các biến $a,b,c$ theo $x,y,z$ mà cứ thay vào BĐT ban đầu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-03-2013 - 19:37

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Điểm ra đề
D = 2*4 + 10*3 + 2*1 + 30 = 70

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh