Chủ đề này có 5 trả lời

[namcpnh]

Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .Chứng rằng nếu $f(f(x))=x$ thì $f$ là song ánh.

[Math Is Love]

Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .Chứng rằng nếu $f(f(x))=x$ thì $f$ là song ánh.

Liệu có phải như thế này không nhỉ?
*** Chứng minh toàn ánh!
Gọi $A$ là tập giá trị của $f$. $B$ là tập giá trị của $x;B=\mathbb{R}$
Ta có:
$$f(f(x))=x$$
Vậy nên $B\subset A\Rightarrow \mathbb{R}\subset A\Rightarrow A=\mathbb{R}$
Vậy tập giá trị của $f$ quét hết $R$ nên $f$ là toàn ánh!
***Chứng minh đơn ánh!
Giả sử tồn tại $x_1;x_2$ thỏa mãn:
$$f(x_1)=f(x_2)$$
$$\Rightarrow f(f(x_1))=f(f(x_2))$$
Mà $f(f(x))=x$ nên ta có $x_1=x_2$
Vậy $f$ là đơn ánh!
Vậy $f$ là song ánh! =.="

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 01-03-2013 - 21:17

[namcpnh]

Liệu có phải như thế này không nhỉ?
*** Chứng minh toàn ánh!
Gọi $A$ là tập giá trị của $f$. $B$ là tập giá trị của $x;B=\mathbb{R}$
Ta có:
$$f(f(x))=x$$
Vậy nên $B\subset A\Rightarrow \mathbb{R}\subset A\Rightarrow A=\mathbb{R}$
Vậy tập giá trị của $f$ quét hết $R$ nên $f$ là toàn ánh!
***Chứng minh đơn ánh!
Giả sử tồn tại $x_1;x_2$ thỏa mãn:
$$f(x_1)=f(x_2)$$
$$\Rightarrow f(f(x_1))=f(f(x_2))$$
Mà $f(f(x))=x$ nên ta có $x_1=x_2$
Vậy $f$ là đơn ánh!
Vậy $f$ là song ánh! =.="

Cái này là sao anh không hiểu. Tập giá trị và tập xác định của f đều là $\mathbb{R}$ mà.

[Math Is Love]

Cái này là sao anh không hiểu. Tập giá trị và tập xác định của f đều là $\mathbb{R}$ mà.

Không phải đâu ạ! Tập giá trị của $f$ mới chỉ là tập con của $\mathbb{R}$ thôi ạ!

[Joker9999]

$f(f(x))=x$ thì $f$ là toàn ánh là hiển nhiên mờ, cần j giải thích hả anh

[namcpnh]

Anh cấn chứng minh để hiểu rõ vấn đề.Mà bài chứng ming của doxuantung97 hình như có vấn đề ở đoạn đầu.