$$ \left\{\begin{matrix} u_1=1 \\ u_{n+1}= n+u_{1}^2+...+u_{n}^2 \;\; , \forall n \ge 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy không chứa số chính phương nào ngoại trừ $u_1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-03-2013 - 00:28
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-03-2013 - 00:28
-Ta có công thức của dãy:Cho dãy số $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ xác định bởi
$$ \left\{\begin{matrix} u_1=1 \\ u_{n+1}= n+u_{1}^2+...+u_{n}^2 \;\; , \forall n\geq 1 \end{matrix}\right. $$
Chứng minh dãy không chứa số chính phương nào ngoại trừ $u_1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 02-03-2013 - 05:27
-Ta có công thức của dãy:
$u_{n+1}=n+\sum ^n_{i=1}u_i (n\geq 1)\\\rightarrow u_n=n-1+\sum ^{n-1}_{i=1}u_i (n\geq 2)$
Theo đó: $u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2$
-Dễ thấy từ công thức, dãy $u$ là dãy nguyên dương, nên:
$ u_n^2<u_{n+1}<u_n^2+2u_n+1=(u_n+1)^2$ $\forall n\geq 2$
Do đó: $u_{n+1}$ không là chính phương với $n\geq 2$
Hay $u_n$ không là chính phương với $n\geq 3$
-Lại có: $u_2=1+u_1^2=2$, không chính phương.
( Ta có điều phải chứng minh :')
...với $n\geq 2$ mà a ^^~Dòng này " $ u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2 $" sai rồi em, cho $n=1$ là thấy ngay
Nói chung là chỗ :"Theo đó.." đã sai, cho $n=2,3,...$ là thấy rõ nhất...với $n\geq 2$ mà a ^^~
Với $n=2$ vẫn đúng mà anh :| $u_3=2+2^2+1^2=7=2^2+2+1=u_2^2+u_2+1$ ?Nói chung là chỗ :"Theo đó.." đã sai, cho $n=2,3,...$ là thấy rõ nhất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-03-2013 - 11:38
Vậy là Phúc sẽ là người đầu tiên tìm ra quy luật của số nguyên tố rồi!Với $n=2$ vẫn đúng mà anh :| $u_3=2+2^2+1^2=7=2^2+2+1=u_2^2+u_2+1$ ?
Nói chung CTTQ đó chỉ đúng cho $n \ge 2$ mà thôi,vì khi ta thay $u_{n}=n-1+\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}^2$ thì biểu thức này chỉ tồn tại với $n \ge 2$.
**********
1 câu hỏi mở khác là chứng minh dãy này,trừ $u_1$, gồm toàn các số nguyên tố.
Nó tương đương với mệnh đề sau :
"Nếu $p \in \mathbb{P}$ thì $p^2+p+1 \in \mathbb{P}$"Spoiler
Hic,anh ơi,em không chắc về mệnh đề đó lắm đâu chỉ mới thử với các số nhỏ. Nhân tiện cho em hỏi là mệnh đề đúng không vậy ?Vậy là Phúc sẽ là người đầu tiên tìm ra quy luật của số nguyên tố rồi!
Tại phúc chưa đọc về các mẩu chuyện liên quan tới số nguyên tố đó mà!Hic,anh ơi,em không chắc về mệnh đề đó lắm đâu chỉ mới thử với các số nhỏ. Nhân tiện cho em hỏi là mệnh đề đúng không vậy ?
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh