Chủ đề này có 8 trả lời

[phudinhgioihan]

Cho dãy số $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ xác định bởi

$$ \left\{\begin{matrix} u_1=1 \\ u_{n+1}= n+u_{1}^2+...+u_{n}^2 \;\; , \forall n \ge 1 \end{matrix}\right. $$

Chứng minh dãy không chứa số chính phương nào ngoại trừ $u_1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-03-2013 - 00:28

[robin997]

Cho dãy số $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ xác định bởi

$$ \left\{\begin{matrix} u_1=1 \\ u_{n+1}= n+u_{1}^2+...+u_{n}^2 \;\; , \forall n\geq 1 \end{matrix}\right. $$

Chứng minh dãy không chứa số chính phương nào ngoại trừ $u_1$

-Ta có công thức của dãy:
$u_{n+1}=n+\sum ^n_{i=1}u_i^2 (n\geq 1)\\\rightarrow u_n=n-1+\sum ^{n-1}_{i=1}u_i^2 (n\geq 2)$
Theo đó: $u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2$
-Dễ thấy từ công thức, dãy $u$ là dãy nguyên dương, nên:
$ u_n^2<u_{n+1}<u_n^2+2u_n+1=(u_n+1)^2$ $\forall n\geq 2$
Do đó: $u_{n+1}$ không là chính phương với $n\geq 2$
Hay $u_n$ không là chính phương với $n\geq 3$
-Lại có: $u_2=1+u_1^2=2$, không chính phương.
( Ta có điều phải chứng minh :')
______
Có $u_2=1+u_1^2$, $u_3=2+u_1^2+u_2^2=1+u_2+u_2^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 02-03-2013 - 05:27

[phudinhgioihan]

-Ta có công thức của dãy:
$u_{n+1}=n+\sum ^n_{i=1}u_i (n\geq 1)\\\rightarrow u_n=n-1+\sum ^{n-1}_{i=1}u_i (n\geq 2)$
Theo đó: $u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2$
-Dễ thấy từ công thức, dãy $u$ là dãy nguyên dương, nên:
$ u_n^2<u_{n+1}<u_n^2+2u_n+1=(u_n+1)^2$ $\forall n\geq 2$
Do đó: $u_{n+1}$ không là chính phương với $n\geq 2$
Hay $u_n$ không là chính phương với $n\geq 3$
-Lại có: $u_2=1+u_1^2=2$, không chính phương.
( Ta có điều phải chứng minh :')

Dòng này " $ u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2 $" sai rồi em, cho $n=1$ là thấy ngay

[robin997]

Dòng này " $ u_{n+1}=u_n+1+u_n ^2\forall n\geq 2 $" sai rồi em, cho $n=1$ là thấy ngay

...với $n\geq 2$ mà a ^^~

[phudinhgioihan]

...với $n\geq 2$ mà a ^^~

Nói chung là chỗ :"Theo đó.." đã sai, cho $n=2,3,...$ là thấy rõ nhất

[dark templar]

Nói chung là chỗ :"Theo đó.." đã sai, cho $n=2,3,...$ là thấy rõ nhất

Với $n=2$ vẫn đúng mà anh :| $u_3=2+2^2+1^2=7=2^2+2+1=u_2^2+u_2+1$ ?

Nói chung CTTQ đó chỉ đúng cho $n \ge 2$ mà thôi,vì khi ta thay $u_{n}=n-1+\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}^2$ thì biểu thức này chỉ tồn tại với $n \ge 2$.

**********
1 câu hỏi mở khác là chứng minh dãy này,trừ $u_1$, gồm toàn các số nguyên tố.

Nó tương đương với mệnh đề sau :
"Nếu $p \in \mathbb{P}$ thì $p^2+p+1 \in \mathbb{P}$"

Spoiler

Trình Số học của em thấp quá,chứng minh không được;nhưng bấm máy thử vài số thấy đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-03-2013 - 11:38

[hxthanh]

Với $n=2$ vẫn đúng mà anh :| $u_3=2+2^2+1^2=7=2^2+2+1=u_2^2+u_2+1$ ?

Nói chung CTTQ đó chỉ đúng cho $n \ge 2$ mà thôi,vì khi ta thay $u_{n}=n-1+\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}^2$ thì biểu thức này chỉ tồn tại với $n \ge 2$.

**********
1 câu hỏi mở khác là chứng minh dãy này,trừ $u_1$, gồm toàn các số nguyên tố.

Nó tương đương với mệnh đề sau :
"Nếu $p \in \mathbb{P}$ thì $p^2+p+1 \in \mathbb{P}$"

Spoiler

Trình Số học của em thấp quá,chứng minh không được;nhưng bấm máy thử vài số thấy đúng.

Vậy là Phúc sẽ là người đầu tiên tìm ra quy luật của số nguyên tố rồi!

[dark templar]

Vậy là Phúc sẽ là người đầu tiên tìm ra quy luật của số nguyên tố rồi!

Hic,anh ơi,em không chắc về mệnh đề đó lắm đâu chỉ mới thử với các số nhỏ. Nhân tiện cho em hỏi là mệnh đề đúng không vậy ?

[hxthanh]

Hic,anh ơi,em không chắc về mệnh đề đó lắm đâu chỉ mới thử với các số nhỏ. Nhân tiện cho em hỏi là mệnh đề đúng không vậy ?

Tại phúc chưa đọc về các mẩu chuyện liên quan tới số nguyên tố đó mà!
Phản thí dụ cho em cho nó nhanh: $7^2+7+1=57=3.19$
Nếu có thể chỉ được một dãy toàn là số nguyên tố, thế chẳng phải quy luật tạo thành số nguyên tố được xác định sao?
Sẽ có một thuật toán kiểm tra số nguyên tố nhanh chóng và dễ dàng...
Còn gì bí ẩn với các nhà Toán Học nữa hả Phúc!?
____________________________
Chứng minh:
Với $(p>3) $Đặt $p=3n\pm 1$ suy ra $p^2=9n^2\pm 6n+1$
Và $p^2+p+1=9n^2+\{9,-3\}n+\{3,1\}\equiv \{0,1\} \pmod 3$
Ở đây ký hiệu $\{a,b,...\}$ để phân thành các trường hợp tương ứng.
Nếu mệnh đề của Phúc đúng thì sẽ tồn tại số nguyên tố lớn hơn $3$ mà chia hết cho $3$?