Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $a,b,c$ là 3 số phức thỏa mãn $a+b+c=0$ và $|a|=|b|=|c|=1$. Chứng minh rằng với mọi số phức $z$ mà $|z|\le 1$ ta đều có $$3\le |z-a|+|z-b|+|z-c| \le 4$$

[robin997]

Cho $a,b,c$ là 3 số phức thỏa mãn $a+b+c=0$ và $|a|=|b|=|c|=1$. Chứng minh rằng với mọi số phức $z$ mà $|z|\le 1$ ta đều có $$3\le |z-a|+|z-b|+|z-c| \le 4$$

-Ta lấy $z$ tương ứng là tọa vị một điểm $Z$ trên mặt phẳng tọa độ trực chuẩn :
-Với $|a|=|b|=|c|=1$, ta có $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ ( $O$ là gốc tọa độ )
-Ta có trọng tâm tam giác $G$: $g=\frac{a+b+c}{3}=0=o$
Hay $G\equiv O$, ta có $\Delta ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị.
-Với $z$ bất kì: $|z|\leq 1$, ta có điểm $Z$ không nằm ngoài đường tròn đơn vị.
-Bài toán đưa về một bài hình quen thuộc hồi THCS :')
-Đẳng thức xảy ra:
+Vế trái: $z=0$
+Vế phải: $z\in ${$\sqrt{ab};\sqrt{ac};\sqrt{bc}$}\{$a;b;c$}