Chủ đề này có 1 trả lời

[taminhtoan2601]

Một đường thẳng qua trực tâm H của tam giác nhọn ABC cắt AB AC ở P và Q. M là trung điểm BC chứng minh khi H là trung điểm :PQ thì PQ vuông góc với MH

[vkhoa]

Một đường thẳng qua trực tâm H của tam giác nhọn ABC cắt AB AC ở P và Q. M là trung điểm BC chứng minh khi H là trung điểm :PQ thì PQ vuông góc với MH

Gọi $BE, CD$ là các đường cao

đường thẳng qua $H$ và $\perp PQ$ cắt $BC$ tại $N$

lần lượt hạ $NF, NG $ vuông góc $AB, AC$ tại $F, G$

$\triangle NPQ$ cân tại $N$

$\Rightarrow\widehat{HNP} =\widehat{HNQ}$ (1)

$NHFP$ nội tiếp$\Rightarrow\widehat{HNP} =\widehat{HFD}$ (2)

$HNGQ$ nội tiếp $\Rightarrow\widehat{HNQ} =\widehat{HGE}$ (3)

từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\widehat{HFD} =\widehat{HGE}$

$\Rightarrow\triangle HFD\sim\triangle HGE$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{FD}{GE} =\frac{HD}{HE}$ (4)

có $\triangle HDB\sim\triangle HEC$ (g, g)

$\Rightarrow\frac{HD}{HE} =\frac{DB}{EC}$ (5)

từ (4, 5)$\Rightarrow\frac{FD}{GE} =\frac{DB}{EC} =\frac{DB -FD}{EC -GE} =\frac{FB}{GC}$

$\Leftrightarrow\frac{FD}{FB} =\frac{GE}{GC}$

$\Leftrightarrow\frac{NC}{NB} =\frac{NB}{NC}$

$\Leftrightarrow NC^2 =NB^2$

$\Leftrightarrow NC =NB$

$\Leftrightarrow N\equiv M$

vậy, $MH\perp PQ$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•