Chủ đề này có 13 trả lời

[Sagittarius912]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH

TỔ TOÁN

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG 11 NĂM 2013

Môn Toán. Thời gian 180 phút

Bài 1. ( 2.5 điểm)

1.Giải phương trình sau: $\frac{\sin x- \cos x}{\sin 3x- \cos 3x}=\frac{\sin^{3} x-\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}$


2.Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để được một số chia hết cho 7 và chữ số đơn vị bằng 1.

Bài 2. ( 2.0 điểm)

1.Chứng minh rằng phương trình $8x^{3}-6x-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm 3 nghiệm đó.



2.Cho dãy số xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=b\\ u_{n+1}=u_{n} ^{2}+(1-2a)u_{n}+a^{2} \end{matrix}\right.$ với $a,b \in \mathbb{R}$ . Tìm hệ thức giữa a,b để dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn dãy số.


Bài 3:( 3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với BC=2a và AB=AD=CD=a. Mặt bên SBC là tam giác đều.Biết SD vuông góc với AC.

a) Tính SD

b) Mặt phẳng (P) đi qua M thuộc đoạn BD song song với SD và AC. Tính diện tích thiết diện của hình chop cắt bởi mặt phẳng (P) theo a và $x=\frac{BM }{\sqrt{3}}$. Tính $x$ để diện tích là lớn nhất.


Bài 4:.(1,5 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số dương, thỏa mãn $x+y+z=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}$

Bài 5.:( 1 điểm)

Tìm các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4}),\forall x \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 02-03-2013 - 19:44

[hoangtrunghieu22101997]

Bài 2. ( 2.0 điểm)

1.Chứng minh rằng phương trình $8x^{3}-6x-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm 3 nghiệm đó.

Chém câu dễ nhất
$8x^3-6x-1=0$
$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\dfrac{1}{2}$
Nếu $x \in [-1;1]$
Đặt $x=\cos \alpha$
$\Rightarrow \cos 3\alpha =\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \alpha \in \{\dfrac{2\pi}{9};\dfrac{4\pi}{9};\dfrac{8\pi}{9}\}$
Đây cũng tất cả các nghiệm của phương trình
(Do pt bậc 3 có tối đa 3 no)

[thanhelf96]

bài 1 phần a:
$\Leftrightarrow (sinx-cosx)\left ( sinx+cosx \right )=(sin3x-cos3x)\left ( sin^3x+cos^3x \right )$
$\Leftrightarrow (sinx-cosx)(sinx+cosx)=(sinx+cosx)\left [ 3-4(1-sinxcosx) \right ](sinx-cosx)\left [ 1+sinxcosx \right ]$
$\Leftrightarrow (sinx+cosx)(sinx-cosx)\left [ (4sinxcosx-1)(1+sinxcosx) -1\right ]$

[Sagittarius912]

bài 1 phần a:
$\Leftrightarrow (sinx-cosx)\left ( sinx+cosx \right )=(sin3x-cos3x)\left ( sin^3x+cos^3x \right )$
$\Leftrightarrow (sinx-cosx)(sinx+cosx)=(sinx+cosx)\left [ 3-4(1-sinxcosx) \right ](sinx-cosx)\left [ 1+sinxcosx \right ]$
$\Leftrightarrow (sinx+cosx)(sinx-cosx)\left [ (4sinxcosx-1)(1+sinxcosx) -1\right ]$

giải tiếp đi bạn
cái đoạn được bôi đỏ ở trên thì ngoài $\sin x = \cos x$ thì phương trình $(4\sin x \cos x-1)(1+\sin x \cos x) -1=0$ vẫn còn nghiệm đấy
cái đoạn này mình biến đổi chưa được ( chính xác là biến đổi không đẹp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 02-03-2013 - 22:02

[thanhelf96]

bài 1 phần b
gọi x là số chia hết cho 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
gọi Y là số có chữ số tận cùng là 3
$\Rightarrow X=Y.7$
Do X là số có 5 chữ số nên Y có nhiều nhất là 5 chữ số
Theo bài ta có: $[\frac{10001}{7}]$\Leftrightarrow 1428
$\Rightarrow Y=1428-143=1285$
không gian mẫu là $9.10^4$
xác suất là $\frac{1285}{9.10^4}$

[thanhelf96]

ra các hộ nghiệm là
+) sinx + cosx = 0 $\Rightarrow tanx=1\Leftrightarrow x=\frac{\Pi }{4}+k\Pi$
+)$sinx+cosx=0 \Leftrightarrow tanx = -1\Leftrightarrow x=\frac{-\Pi }{4}+k\Pi$
+) $(1+sinxcosx)(4sinxcosx-1)-1=0$
đặt $sinxcosx=t , t\epsilon \left \lceil \frac{-1}{2} ;\frac{1}{2}\right \rceil$
rồi bạn giải tiếp thôi ra $t= \frac{-3+\sqrt{41}}{8}\Rightarrow sin2x=\frac{-3+\sqrt{41}}{4}$

[Ispectorgadget]

Bài 5.:( 1 điểm)

Tìm các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $f(x)=f(x^{2}+\frac{1}{4}),\forall x \in \mathbb{R}$

Bài này quen v~ :v
Ta có: $f$ là hàm chẵn
Cho $x_1\ge 0$ ta có hai trường hợp

$\bullet$ Nếu $0\le x_1<\frac{1}{2}$

Xét dãy số $\{x_n\}$ thỏa mãn $x_{n+1}=x_n^2+\frac{1}{4},\; n\ge 1$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $0\le x_n <\frac{1}{2};\; \forall n\ge 1$ và $x_{n-1}-x_n=x_n^2 -x_n+\frac{1}{4}=\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2>0;\forall n \ge 1$

Nên ta có $\{x_n\}$ dãy tăng và bị chặn nên hội tụ.

Đặt $\lim\limits_{n\to +\infty} x_1 =\alpha \Rightarrow \alpha =\alpha^2+\frac{1}{4}\Leftrightarrow \alpha =\frac{1}{2}$

Hơn nữa do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $\lim\limits_{n\to +\infty}f(x_n)=f(\frac{1}{2})$

Mà $f(x_{n+1})=f(x_n), n\ge 1$


$$\Rightarrow f(x)=f(\frac{1}{2}),\;\; \forall x\in [0;\frac{1}{2})\; (1)$$

$\bullet$ Nếu $x_1>\frac{1}{2}$

Xét dãy số $\{x_n\}$ thỏa $x_n=x_{n+1}^2+\frac{1}{4}$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $x_n>\frac{1}{2},\forall n\ge 1$
và $x_n-x_{n-1}=\left(x_{n+1}-\frac{1}{2} \right )^2 >0;\forall n \ge 1$

Nên ta có $\{x_n\}$ là dãy số giảm và chặn dưới nên hội tụ


Hơn nữa $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $\lim\limits_{n\to +\infty}f(x_n)=f(\frac{1}{2})$

Mà $f(x_{n+1})=f(x_n),\forall n\ge 1$

$\Rightarrow f(x_1)=f(\frac{1}{2})$

$\Rightarrow f(x)=f(\frac{1}{2}),\forall x >\frac{1}{2}\;\;\;(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $f(x)=f(\frac{1}{2}),\forall x>0$
$\Rightarrow f(x)=f(\frac{1}{2}),\forall x\in \mathbb{R}$ (do $f$ là hàm chẵn)

$\Rightarrow f(x)=C=const ,\forall x\in \mathbb{R}$

Ngược lại mọi hàm hằng đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy $f(x)=C=const ,\forall x\in \mathbb{R}$

[caybutbixanh]

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH

TỔ TOÁN

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG 11 NĂM 2013

Môn Toán. Thời gian 180 phút

Bài 4:.(1,5 điểm)

Cho $x,y,z$ là các số dương, thỏa mãn $x+y+z=3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}$

Không biết có phải như thế này không ạ.

Ta có :$(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow (xy+yz+xz)\leq 3$

Theo C-S thì
$P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

Vậy $\textbf{min P}=\frac{3}{2}$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

[Sagittarius912]

Không biết có phải như thế này không ạ.

Ta có :$(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow (xy+yz+xz)\leq 3$

Theo C-S thì
$P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

Vậy $\textbf{min P}=\frac{3}{2}$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

BĐT dạng C-S là thế này em
$\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}\ge \frac{(a_{1}+..+a_{n})^{2}}{b_{1}+...+b_{n}}$

[thanhelf96]

bạn ơi mình hỏi chút đề này có đáp án k?

[Sagittarius912]

bạn ơi mình hỏi chút đề này có đáp án k?

tạm thời là chưa. nhưng thầy mình có chữa qua rồi.

vậy bài hình làm thế nào vậy bạn?

Mình không biết vẽ hình trên VMF như thế nào
Đăng lên đây xem mọi người giải ra sao, với lại hôm thầy chữa bài mình lại đi học muộn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 03-03-2013 - 20:31

[thanhelf96]

vậy bài hình làm thế nào vậy bạn?

[caybutbixanh]

BĐT dạng C-S là thế này em
$\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}\ge \frac{(a_{1}+..+a_{n})^{2}}{b_{1}+...+b_{n}}$

Ừ,em mần sai rồi....^^ Anh giải bài này như thế nào vậy ?

[Sagittarius912]

Ừ,em mần sai rồi....^^ Anh giải bài này như thế nào vậy ?

Cái này sử dụng 1 bdt của ông Vasile Cirtoaje.mà cái bdt này vừa khó lại vừa đau mắt.
Anh đăng lên đây mong muốn có ai đó "xử đẹp" bài bdt đấy
____________________