Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}} \ge \frac{3 \sqrt{17}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
thangnhoc9x

thangnhoc9x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
cho x,y,z>0. $x+y+z\leq \frac{3}{2}$ CM
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$
Note. Chú ý là tiêu đề bạn dài nên không thể hiển thị công thức toán. Bạn có thể rút ngắn tiêu đề bằng công thức \sum $\sum$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 02-03-2013 - 22:27


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

cho x,y,z>0. $x+y+z\leq \frac{3}{2}$ CM
$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$


$VT\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

#3
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
Không đó là bất đẳng thức Min-cô-cốp-xì-xi :P

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#4
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

chả hiểu gì cả


Bất đẳng thức mình áp dụng ở trên là $Minkowsky$, hệ quả của $Cauchy-Schwarz$ (hay $Bunyakovsky$)

Bổ đề: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+x)^{2}+(b+y)^{2}}$ $(*)$
Chứng minh: Do cả 2 vế của BĐT đều không nên BĐT $(*)$ tương đương với
$a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}\geq (a+x)^{2}+(b+y)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}\geq ax+by$

Vậy bất đẳng thức $(*)$ đúng

Áp dụng $(*)$ ta có
$VT\geq \sqrt{(x+y)^{2}+\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )^{2}}$

Phần còn lại thì dùng kĩ thuật điểm rơi làm tiếp :) Chắc là ổn rồi :)

#5
thangnhoc9x

thangnhoc9x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
$\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\leq \sqrt[n]{\frac{a+b+c}{3}}$

#6
vnmath98

vnmath98

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
Đặt $\sqrt[n]{a}=x;\sqrt[n]{b}=y;\sqrt[n]{c}=z$
Bất đẳng thức trở thành bdt sau http://diendantoanho...acabc3-right-n/

    3324214559_b11a7ebb97_o-1.gif

 


#7
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Nhớ không nhầm thì bài này đưa lên trên diễn đàn một lần rồi.
Ta có thể áp dụng AM-GM: $$x^2+ \underbrace{ \frac{1}{16x^2}+ \frac{1}{16x^2}+ \cdots + \frac{1}{16x^2} }_{16 \ \text{số}} \ge 17 \sqrt[17]{\frac{1}{16^{16} \cdot x^{30}}}$$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh