Bài toán:
Ch0 tam giác $ABC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với các cạnh tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp góc $B$ tiếp xúc với các cạnh tại $X,Y,Z$. Đường tròn bàng tiếp góc $C$ tiếp xúc với các cạnh tại $H,T,K$.
Chứng minh đường thẳng Euler của các $\Delta MNP,\Delta XYZ,\Delta HTK$ đồng quy !
Chứng minh đường thẳng $Euler$ của các tam giác đồng quy
Bắt đầu bởi WhjteShadow, 03-03-2013 - 00:50
perfectstrong blackselena vmf
#1
Đã gửi 03-03-2013 - 00:50
WhjteShadow
-
- Phó Quản lý Toán Ứng dụ
-
- 1323 Bài viết
Thượng úy
- L Lawliet, Sagittarius912, Oral1020 và 2 người khác yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#2
Đã gửi 03-03-2013 - 14:13
nguyenthehoan
-
- Thành viên
-
- 392 Bài viết
Sĩ quan
Bài toán của bạn rất hay...
Giả sử $M\in AB,N\in BC,P\in CA$
Vẽ phân giác trong BE,CF.Gọi O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC.S là tâm bàng tiếp góc A và I là tâm nội tiếp
Ta có
$SE^{2}-SF^{2}+MF^{2}-MI^{2}+PI^{2}-PE^{2}=(SP^{2}+PE^{2})-(SM^{2}+MF^{2})+MF^{2}-PE^{2}=0$
suy ra hai tam giác SMP và IEF trực giao
nên các đường thẳng qua M,S,P thứ tự vuông góc IF,FE,EI đồng qui.
Mặt khác (1)
CF vuông góc CF suy ra CF//NP.Tương tự BE//NM. (2)
Từ (1) và(2) suy ra các đường thẳng (1) đồng qui tại trực tâm tam giác MNP.Vậy đường thẳng Ole $\Delta MNP$ vuông góc EF. (3)
Đến đây ta sử dụng bổ đề quen thuộc: SO vuông góc EF...
Sử dụng định lí 4 điểm cm định lí này.
$OE^{2}=R^{2}-EA.EC$ (phương tích)
$OF^{2}=R^{2}-FA.FB$
suy ra $OE^{2}-OF^{2}=FA.FB-EA.EC$
$SE^{2}-SF^{2}=PE^{2}-MF^{2}$.chỉ cần tính độ dài đoạn thẳng ta có ngay $SE^{2}-SF^{2}=OE^{2}-OF^{2}$.
Chứng tỏ SO vuông góc EF.(4)
Từ (3) và (4) suy ra đường thẳng ole tam giác MNP đi qua O.
Tương tư các đường thẳng ole các tam giác XYZ,HKT cũng qua O(dpcm)...
Giả sử $M\in AB,N\in BC,P\in CA$
Vẽ phân giác trong BE,CF.Gọi O là tâm ngoại tiếp tam giác ABC.S là tâm bàng tiếp góc A và I là tâm nội tiếp
Ta có
$SE^{2}-SF^{2}+MF^{2}-MI^{2}+PI^{2}-PE^{2}=(SP^{2}+PE^{2})-(SM^{2}+MF^{2})+MF^{2}-PE^{2}=0$
suy ra hai tam giác SMP và IEF trực giao
nên các đường thẳng qua M,S,P thứ tự vuông góc IF,FE,EI đồng qui.
Mặt khác (1)
CF vuông góc CF suy ra CF//NP.Tương tự BE//NM. (2)
Từ (1) và(2) suy ra các đường thẳng (1) đồng qui tại trực tâm tam giác MNP.Vậy đường thẳng Ole $\Delta MNP$ vuông góc EF. (3)
Đến đây ta sử dụng bổ đề quen thuộc: SO vuông góc EF...
Sử dụng định lí 4 điểm cm định lí này.
$OE^{2}=R^{2}-EA.EC$ (phương tích)
$OF^{2}=R^{2}-FA.FB$
suy ra $OE^{2}-OF^{2}=FA.FB-EA.EC$
$SE^{2}-SF^{2}=PE^{2}-MF^{2}$.chỉ cần tính độ dài đoạn thẳng ta có ngay $SE^{2}-SF^{2}=OE^{2}-OF^{2}$.
Chứng tỏ SO vuông góc EF.(4)
Từ (3) và (4) suy ra đường thẳng ole tam giác MNP đi qua O.
Tương tư các đường thẳng ole các tam giác XYZ,HKT cũng qua O(dpcm)...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 03-03-2013 - 14:16
- perfectstrong, WhjteShadow, demonhunter000 và 3 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: perfectstrong, blackselena, vmf
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
