Chủ đề này có 2 trả lời

[duc321999real]

Cho a,b,c >0. a$\geq$ Max (b,c) . Tìm min $\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

[Kudo Shinichi]

Cho a,b,c >0. a$\geq$ Max (b,c) . Tìm min $A=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Ta có: $a,b,c >0$;a$\geq$Max(b,c)
$\Rightarrow\frac{a}{b}\geq 1$ ; $0< \frac{c}{a}\leq 1$ $(1)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ ta có: $1+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c}}$ ; $1+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{a}{b}+2\sqrt{2}\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$
$\Rightarrow A \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\frac{a}{b}+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$ $(2)$
Áp dụng bđt $Cauchy$ cho $\frac{a}{b}$; 4 số $\sqrt[4]{\frac{b}{c}}$; 6 số $\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$, ta có:
$\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )\geq11\sqrt[11]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}$ $(3)$
Từ $(1)$ và để ý rằng $1-\frac{\sqrt{2}}{2}> 0$ còn $\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}< 0$, nên từ $(2)$, $(3)$, ta có:
$A\geq \frac{11\sqrt{2}}{2}+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )$
$A\geq 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$
$\text{Min A}= 1+2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{2}$$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kudo Shinichi: 05-03-2013 - 22:58

[caybutbixanh]

$\Rightarrow A \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \frac{a}{b}+4\sqrt[4]{\frac{b}{c}}+6\sqrt[6]{\frac{c}{a}} \right )+\left ( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right )\frac{a}{b}+3\left ( \sqrt[3]{2}-\sqrt{2} \right )\sqrt[6]{\frac{c}{a}}$ $(2)$
 

Bạn có thể chỉ cho mình biết cách lấy trọng số trong đánh giá trên được không ? Mình đọc qua chưa hiểu lắm....................