Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm điểm $M$ sao cho $\dfrac{MB.MC}{MA_1}$ đạt GTNN

france tst 2003 d1 p3

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 03-03-2013 - 22:00

Problem: Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là điểm bất kì nằm trong miền của tam giác. Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$ tại điểm thứ hai $A_1$.

Tìm điểm $M$ sao cho biểu thức $P=\dfrac{MB.MC}{MA_1}$ đạt GTNN
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 07-03-2013 - 19:14

Lời giải:
Vẽ $BM,CM$ cắt $(O)$ tại $B_1;C_1$ tương ứng. Vẽ $A_2;B_2;C_2$ là các hình chiếu của $M$ lần lượt lên $BC,CA,AB$.
Gọi $R,R_2$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle ABC,\vartriangle A_2B_2C_2$ tương ứng.
Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\vartriangle ABC$.
============================================
Ta chứng minh $\dfrac{MB.MC}{MA_1}=\dfrac{MA.BC}{B_1C_1} \quad (1)$. Thật vậy:
Hình đã gửi
\[
\begin{array}{l}
\vartriangle MBC \sim \vartriangle MC_1B_1(g.g) \Rightarrow \dfrac{BM}{BC}=\dfrac{C_1M}{C_1B_1}\\
\Rightarrow \dfrac{BM}{BC}=\dfrac{\dfrac{|P_{M/(O)}|}{MC}}{C_1B_1} \Rightarrow \dfrac{MB.MC}{|P_{M/(O)}|}=\dfrac{BC}{B_1C_1}\\
\Rightarrow \dfrac{MB.MC}{MA.MA_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \dfrac{MB.MC}{MA_1}=\dfrac{MA.BC}{B_1C_1}
\end{array}
\]
============================================
Tiếp theo, ta chứng minh $\vartriangle B_2A_2C_2 \sim \vartriangle B_1A_1C_1(g.g) \quad (2)$.
Hình đã gửi
\[
\begin{array}{l}
\left( {A_2 B_2 ;A_2 C_2 } \right) \equiv \left( {A_2 B_2 ;A_2 M} \right) + \left( {A_2 M;A_2 C_2 } \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\equiv \left( {CB_2 ;CM} \right) + \left( {BM;BC_2 } \right) \equiv \left( {A_1 A;A_1 C_1 } \right) + \left( {A_1 B_1 ;A_1 A} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\equiv \left( {A_1 B_1 ;A_1 C_1 } \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\end{array}
\]
Tương tự, ta cũng có $(B_1A_1;B_1C_1) \equiv (B_2A_2;B_2C_2) \pmod {\pi}$ nên từ đây, suy ra (2) đúng.
============================================
Mặt khác, ta cũng có $R_2 \ge r \quad (3)$.
Hình đã gửi
Thật vậy, gọi $O_2$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle A_2B_2C_2$.
Vẽ $A';B';C'$ là hình chiếu của $O_2$ lần lượt lên $BC;CA;AB$.
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}r\left( {BC + CA + AB} \right) = S_{ABC} = S_{O_2 BC} + S_{O_2 AC} + S_{O_2 AB} \\
= \frac{1}{2}\left( {OA'.BC + OB'.AC + OC'.AB} \right) \\
\le \frac{1}{2}\left( {OA_2 .BC + OB_2 .AC + OC_2 .AB} \right) = \frac{1}{2}R_2 \left( {BC + CA + AB} \right) \\
\end{array}
\]
(3) được chứng minh.
============================================
Chú ý rằng $\angle B_2A_2C_2=\angle B_1A_1C_1$ hoặc $\angle B_2A_2C_2=\pi - \angle B_1A_1C_1$ nên $\sin B_2A_2C_2=\sin B_1A_1C_1$.
Áp dụng định lý hàm số sin và từ (1),(2),(3), ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{MB.MC}}{{MA_1 }} = \frac{{MA.BC}}{{B_1 C_1 }} = \frac{{MA.2R\sin BAC}}{{2R\sin B_1 A_1 C_1 }} = \frac{{MA\sin B_2 AC_2 }}{{\sin B_1 A_1 C_1 }} \\
= \frac{{B_2 C_2 }}{{\sin B_2 A_2 C_2 }} = 2R_2 \ge 2r \\
\end{array}
\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $R=r \Leftrightarrow M$ là tâm đường tròn nội tiếp $\vartriangle ABC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-03-2013 - 19:15

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh