Chủ đề này có 3 trả lời

[faraanh]

tính tổng: $S=1+8q+27q^2+...+n^3q^{n-1}+...,(\left | q \right |< 1)$

[perfectstrong]

Phương pháp: Sử dụng hàm sinh.
Lời giải:
Xét hàm sinh ứng với $S$: \[
f\left( q \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {k^3 q^{k - 1} }
\]
Đặt dãy $(x_n)$ với $x_n=n^3$ thì $f\left( q \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {x_k q^{k - 1} }$. Ta sẽ tìm hệ thức truy hồi của $(x_n)$.
\[
\begin{array}{l}
x_n = n^3 \\
\left. \begin{array}{l}
x_{n + 1} = \left( {n + 1} \right)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \\
x_{n - 1} = \left( {n - 1} \right)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x_{n + 1} + x_{n - 1} = 2x_{n - 1} + 6n \\
x_{n + 1} - x_{n - 1} = 6n^2 + 2 \\
\end{array} \right. \\
x_{n - 2} = \left( {n - 2} \right)^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8 = x_n - \left( {x_{n + 1} - x_{n - 1} - 2} \right) + 2\left( {x_{n + 1} + x_{n - 1} - 2x_n } \right) - 8 \\
\Leftrightarrow x_{n - 2} = x_{n + 1} + 3x_{n - 1} - 3x_n - 6 \Leftrightarrow x_{n + 1} = 3x_n - 3x_{n - 1} + x_{n - 2} + 6 \\
\Leftrightarrow x_n = 3x_{n - 1} - 3x_{n - 2} + x_{n - 3} + 6 \quad \forall n \ge 4 \\
\end{array}
\]
Do đó, với mọi $q$ mà $|q|<1$:
\[
\begin{array}{rcl}
f\left( q \right) &=& \sum\limits_{k = 1}^\infty {k^3 q^{k - 1} } \\
&=& x_1 + x_2 q + x_3 q^2 + \sum\limits_{k = 4}^\infty {\left( {3x_{k - 1} - 3x_{k - 2} + x_{k - 3} + 6} \right)q^{k - 1} } \\
&=& 1 + 8q + 27q^2 + 3q\sum\limits_{k = 4}^\infty {x_{k - 1} q^{k - 2} } - 3q^2 \sum\limits_{k = 4}^\infty {x_{k - 2} q^{k - 3} } \\
&+& q^3 \sum\limits_{k = 4}^\infty {x_{k - 3} q^{k - 4} } + 6\left( {\sum\limits_{k = 1}^\infty {q^{k - 1} } - q^2 - q - 1} \right) \\
&=& 1 + 8q + 27q^2 + 3q\left[ {f\left( q \right) - x_1 - x_2 q} \right] - 3q^2 \left[ {f\left( q \right) - x_1 } \right] \\
&+& q^3 f\left( q \right) + \frac{6}{{1 - q}} - 6q^2 - 6q - 6 \\
\Rightarrow f\left( q \right)\left( {1 - 3q + 3q^2 + q^3 } \right) &=& - 5 - q + \frac{6}{{1 - q}} = \frac{{q^2 + 4q + 1}}{{1 - q}} \\
\Rightarrow f\left( q \right) &=& \frac{{q^2 + 4q + 1}}{{\left( {1 - q} \right)^4 }} \\
\end{array}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-03-2013 - 22:27

[hxthanh]

tính tổng: $S=1+8q+27q^2+...+n^3q^{n-1}+...,(\left | q \right |< 1)$

Xét tổng riêng

$S_n=\sum_{k=1}^n k^3q^{k-1}$

 

Ta có: $\Delta(q^{k-1})=(q-1)q^{k-1}$

$\Delta(k^3)=3k^2+3k+1$

$\Delta(3k^2+3k+1)=6(k+1)$

$\Delta(k+1)=1$

Do đó:

$(q-1)S_n=\sum_{k=1}^n k^3\Delta(q^{k-1})=k^3q^{k-1}\bigg|_{k=1}^{n+1}-\sum_{k=1}^n (3k^2+3k+1)q^k$

$(q-1)S_n=(n+1)^3q^n-1-\dfrac{1}{q-1}\sum_{k=1}^n(3k^2+3k+1)\Delta(q^k)$

$(q-1)S_n=(n+1)^3q^n-1-\dfrac{1}{q-1}(3k^2+3k+1)q^k\bigg|_{k=1}^{n+1}+\dfrac{6}{q-1}\sum_{k=1}^n(k+1)q^{k+1}$

$(q-1)S_n=(n+1)^3q^n+\dfrac{6q+1}{q-1}-\dfrac{(3n^2+9n+7)q^{n+1}}{q-1}$

$\qquad\qquad\qquad+\dfrac{6}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^n(k+1)\Delta(q^{k+1})$

$(q-1)S_n=(n+1)^3q^n+\dfrac{6q+1}{q-1}-\dfrac{(3n^2+9n+7)q^{n+1}}{q-1}$

$\qquad\qquad\qquad+\dfrac{6}{(q-1)^2}(k+1)q^{k+1}\bigg|_{k=1}^{n+1}-\dfrac{6}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^nq^{k+2}$

$(q-1)S_n=(n+1)^3q^n+\dfrac{6q+1}{q-1}-\dfrac{(3n^2+9n+7)q^{n+1}}{q-1}$

$\qquad\qquad\qquad+\dfrac{6(n+2)q^{n+2}}{(q-1)^2}-\dfrac{12q^2}{(q-1)^2}-\dfrac{6q^{n+3}}{(q-1)^3}+\dfrac{6q^3}{(q-1)^3}$

Từ đó ta có:

 

$S_n=\dfrac{q^2+4q+1}{(q-1)^4}+\dfrac{(n+1)^3q^n}{q-1}-\dfrac{(3n^2+9n+7)q^{n+1}}{(q-1)^2}+\dfrac{6(n+2)q^{n+2}}{(q-1)^3}$

 

Do $|q|<1$ nên $p=\left|\dfrac{1}{q}\right|>1$ và hàm mũ tiến tới vô cùng "nhanh" hơn hàm đa thức nên chuyển qua giới hạn ta có:

 

$\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{q^2+4q+1}{(q-1)^4}$

[nthoangcute]

tính tổng: $S=1+8q+27q^2+...+n^3q^{n-1}+...,(\left | q \right |< 1)$

 

 

Lùi bậc của $k^3$ là có thể giải quyết được bài toán này.

Trước hết, ta sẽ tính tổng:

$$P=\sum^n_{k=1} k^3 q^{k-1}$$

Do $$\sum^n_{k=1} q^{k-1}=\frac{q^n-1}{q-1}$$ nên

$$P=\frac{q^n-1}{q-1} n^3-\sum^{n-1}_{k=1} \frac{q^k-1}{q-1} (3k^2+3k+1)\\=\frac{q^n-1}{q-1} n^3-Q$$

Lại có $$\sum^{n-1}_{k=1} \frac{q^k-1}{q-1}=\frac{q^{n}-1+n-nq}{(q-1)^2}$$

Suy ra $$Q=\frac{q^{n}-1+n-nq}{(q-1)^2} (3n^2+3n+1)-\sum _{k=1}^{n-2} \frac{q^{k}-1+k-kq}{(q-1)^2} (6k+6)\\=\frac{q^{n}-1+n-nq}{(q-1)^2} (3n^2+3n+1)-R$$

Lại có $$\sum _{k=1}^{n-2} \frac{q^{k}-1+k-kq}{(q-1)^2}=\frac{1}{2}\,{\frac {-{n}^{2}{q}^{2}+2\,{n}^{2}q+3\,n{q}^{2}-{n}^{2}-8\,qn-2\,{q}^{2}+2\,{q}^{n-1}+5\,n+6\,q-6}{ \left( q-1 \right) ^{3}}}$$

Do đó $$R=\frac{1}{2}\,{\frac {-{n}^{2}{q}^{2}+2\,{n}^{2}q+3\,n{q}^{2}-{n}^{2}-8\,qn-2\,{q}^{2}+2\,{q}^{n-1}+5\,n+6\,q-6}{ \left( q-1 \right) ^{3}}}(6n+6)-\sum _{k=1}^{n-3} 3\,{\frac {-{k}^{2}{q}^{2}+2\,{k}^{2}q+3\,k{q}^{2}-{k}^{2}-8\,qk-2\,{q}^{2}+2\,{q}^{k-1}+5\,k+6\,q-6}{ \left( q-1 \right) ^{3}}} $$

Cuối cùng có:

$$\sum _{k=1}^{n-3} 3\,{\frac {-{k}^{2}{q}^{2}+2\,{k}^{2}q+3\,k{q}^{2}-{k}^{2}-8\,qk-2\,{q}^{2}+2\,{q}^{k-1}+5\,k+6\,q-6}{ \left( q-1 \right) ^{3}}}={\frac {-{n}^{3}{q}^{3}+3\,{n}^{3}{q}^{2}+12\,{n}^{2}{q}^{3}-3\,{n}^{3}q-39\,{n}^{2}{q}^{2}-47\,{q}^{3}n+{n}^{3}+42\,{n}^{2}q+162\,n{q}^{2}+60\,{q}^{3}-15\,{n}^{2}-189\,qn-216\,{q}^{2}+6\,{q}^{n-3}+74\,n+270\,q-120}{ \left( q-1 \right) ^{4}}}$$

Từ đó ta có thể có kết quả ...

_____________________

P/s: Bắt đầu ức chế với cái phương pháp ngớ ngẩn này ...

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-04-2013 - 19:55